[論文レビュー] Border Collision Bifurcations in n-Dimensional Piecewise Linear Discontinuous Maps

Partha Sharathi Dutta, Bitihotra Routroy+2 more|ArXiv.org|Jan 16, 2006

Chaos control and synchronization参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、不連続なn次元区分線形写像における境界衝突分岐を分析する一般枠組みを構築した。Feiginの連続系へのアプローチを不連続系に拡張し、2つのパラメータを用いた区分線形正規形を用いて、周期1および周期2固定点の存在条件を明示的に導出。2次元写像の例を通じて検証され、特定のパrameter領域において安定な周期2軌道が存在することを示した。

ABSTRACT

In this paper we report some important results that help in analizing the border collision bifurcations that occur in n-dimensional discontinuous maps. For this purpose, we use the piecewise linear approximation in the neighborhood of the plane of discontinuity. Earlier, Feigin had made a similar analysis for general n-dimensional piecewise smooth continuous maps. Proceeding along similar lines, we obtain the general conditions of existence of period-1 and period-2 fixed points before and after a border collision bifurcation. The application of the method is then illustrated using a specific example of a two-dimensional discontinuous map.

研究の動機と目的

• 電子回路や制御系に一般的に見られるn次元不連続写像の包括的な分岐理論の構築を目的とする。
• 連続的区分線形写像と比較して、不連続写像のための体系的でない分析手法の欠如に応えることを目的とする。
• 連続系に適応されたFeiginの手法を不連続系に拡張し、境界衝突分岐による急激な動的遷移の解析を可能にする。
• 不連続n次元写像における周期1および周期2固定点の存在に関する一般条件を導出することを目的とする。
• 具体的な2次元不連続写像と数値シミュレーションを用いて理論枠組みの妥当性を検証することを目的とする。

提案手法

• 2つの領域が超平面で分離される不連続写像のための区分線形正規形を定式化。行列A₁とA₂は最初の列を除き同一である。
• 不連続長の可変性をモデル化するための2つのパラメータμ₁とμ₂を導入。両側に共通のベクトルCを用いてパラメータの影響を記述。
• 周期1固定点の存在条件を導出。x₁* < 0の領域ではX* = A₁X* + Cμ₁、x₁* > 0の領域ではX* = A₂X* + Cμ₂を解き、トレースτと行列式δを用いた線形系に帰着。
• 周期2軌道の条件を導出。X** = A₁X* + Cμ₁（x₁* < 0）およびX* = A₂X** + Cμ₂（x₁** > 0）の連立系を解き、τ_L, τ_R, δ_L, δ_Rを用いた表現を得る。
• 周期2軌道の安定性をA₁A₂の固有値により評価。固有値が絶対値が1未満の複素数である場合、安定であることを確認。
• 数値的分岐図を用いて結果を検証。2次元写像においてμ₁を分岐パラメータとして用い、理論的予測とシミュレートされた動的挙動が一致することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n次元不連続区分線形写像における周期1固定点の存在に関する一般条件は何か？
• RQ2 特に、不連続性の両側に1点ずつ存在する場合、周期2軌道が発生するパラメータ条件は何か？
• RQ3 部分写像のトレースと行列式が、不連続系における周期的軌道の存在および安定性にどのように影響するか？
• RQ4 理論枠組みは2次元不連続写像における分岐境界と安定性遷移を予測できるか？また、シミュレーション結果とどのように一致するか？
• RQ5 パラメータμ₁とμ₂は、特に不連続長が変化する場合に、周期的軌道の存在範囲をどのように決定するか？

主な発見

• 周期1固定点はμ₁ < 0およびμ₂ < 0のとき存在し、固定点はそれぞれ左領域および右領域に位置する。表1およびシミュレーションにより確認された。
• 2次元例（τ_L = 0.7, δ_L = 0.3, τ_R = 0.2, δ_R = 0.3）において、μ₂ = -0.025のとき、周期2軌道はμ₁ = 0.01346からμ₁ = 0.1625の間で存在する。
• 周期2軌道は安定である。A₁A₂の固有値はλ₁ = -0.23 + 0.19iおよびλ₂ = -0.23 - 0.19iであり、絶対値は1未満である。
• 周期2軌道の存在は不等式τ_L τ_R > (1 + δ_L)(1 + δ_R)またはτ_L τ_R < (1 + δ_L)(1 + δ_R)に依存し、パrameter空間において明確に分離された領域を形成する。
• 図10の分岐図により、μ₁ < 0の間は周期1軌道が存在し、μ₁ > 0.01346のとき周期2軌道が出現することが確認され、理論的予測と一致した。
• 周期2軌道の存在条件は、τ_L τ_R > (1+δ_L)(1+δ_R)のときμ₂/μ₁ ∈ (−τ_R/(1+δ_R), −(1+δ_L)/τ_L)、それ以外の場合は逆の区間で表される。