[論文レビュー] Bordered Riemann surfaces in C^2

Franc Forstnerič, Erlend Fornæss Wold|Aug 21, 2007

Holomorphic and Operator Theory参考文献 43被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^2$ 内の滑らかな境界をもつ任意のコンパクト複素曲線の内部が、$\mathbb{C}^2$ に適切な正則埋め込みをもつことを確立する。主な結果は、境界が$\mathcal{C}^r$ で、$\mathbb{C}^2$ への正則埋め込みをもつ任意のような表面が、適切な正則埋め込みにより近似可能であることを示すことによって、境界付きリーマン面の埋め込み問題を解決する。これは複素幾何学における長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

One of the oldest open problems in the classical function theory is whether every open Riemann surface admits a proper holomorphic embedding into C^2. In this paper we prove the following Theorem: If D is a bordered Riemann surface whose closure admits an injective immersion in C^2 that is holomorphic in D, then D admits a proper holomorphic embedding in C^2. The most general earlier results are due to J. Globevnik and B. Stensones (Math. Ann. 303 (1995), 579-597) and E. F. Wold (Internat. J. Math. 17 (2006), 963-974). We give an explicit and elementary construction that does not require the Teichmuller space theory, and we also indicate another possible proof using the latter theory.

研究の動機と目的

• 滑らかな境界をもつ境界付きリーマン面が、$\mathcal{C}^r$ 境界と $\mathbb{C}^2$ への正則埋め込みをもつとき、その内部が $\mathbb{C}^2$ に適切な正則埋め込みをもつかどうかを解明すること。
• コンパクト複素曲線の境界の挙動に注目することで、任意の開リーマン面が $\mathbb{C}^2$ に適切に正則埋め込まれるかどうかという長年の未解決問題に取り組むこと。
• 分離埋め込み問題の第二の部分を完全に解決すること：コンパクト複素曲線の境界を二重点を生じさせずに無限遠に押し出すこと。
• 円板やアニュラスなどの特定の曲面に対する既知の埋め込み結果を、滑らかな境界をもつ一般の境界付きリーマン面へと拡張すること。

提案手法

• 複素解析における近似定理を用いて、$\mathbb{C}^2$ 内の滑らかな境界をもつコンパクト複素曲線の与えられた正則埋め込みを、コンパクト集合上で一様に適切な正則埋め込みにより近似すること。
• メルゲリヤンの定理を応用し、リーマン面内の相対的にコンパクトな領域上で $\mathcal{C}^1$ 正則埋め込みを、近傍上の正則写像により近似すること。
• カルタンの拡張定理を用いて、ファイバー空間内のストーン近傍へのコンパクト曲線の近傍上の正則写像を、パラメータに関して正則に拡張すること。
• シウの定理（複素多様体におけるストーン近傍の存在）を応用し、リーマン面の族におけるコンパクト曲線の局所的ストーン近傍を構成すること。
• 正則埋め込みの小領域の摂動における安定性と、ティッヒミュラー空間における埋め込み可能領域の集合の開性を組み合わせ、集合 $E_{g,m}$ の開性を証明すること。
• 家族の正則埋め込みにおけるブルーワー固定点定理を応用し、適切な正則埋め込みをもつ、等角的同値な領域を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな境界をもつコンパクト複素曲線の内部が、$\mathbb{C}^2$ に適切な正則埋め込みをもつかどうか。
• RQ2 その閉包が $\mathbb{C}^2$ に $\mathcal{C}^1$ 正則埋め込みをもつ境界付きリーマン面 $D$ が、$\mathbb{C}^2$ に適切な正則埋め込みをもつかどうか。
• RQ3 ティッヒミュラー空間 $T_{g,m}$ 内の、$\mathbb{C}^2$ に正則埋め込みをもつリーマン面の集合 $E_{g,m}$ は閉集合か。
• RQ4 滑らかな境界をもつコンパクト複素曲線が $\mathbb{C}^2$ に $\mathcal{C}^r$ 境界をもつ正則埋め込みをもつとき、その埋め込みをコンパクト集合上で一様に適切な正則埋め込みにより近似できるか。
• RQ5 リーマン面上の相対的にコンパクトな領域への正則埋め込みが $\mathbb{C}^2$ に存在するならば、その領域が $\mathbb{C}^2$ に適切な正則埋め込みをもつかどうか。

主な発見

• 定理1.1で述べられているように、$r>1$ に対して、$\mathbb{C}^2$ 内の滑らかな境界をもつ任意のコンパクト複素曲線の内部は、$\mathbb{C}^2$ に適切な正則埋め込みをもつ。
• 系1.2で示されているように、$\mathbb{C}^2$ に $\mathcal{C}^1$ 正則埋め込みをもつ境界付きリーマン面 $D$ は、コンパクト集合上で一様に適切な正則埋め込み $D\to\mathbb{C}^2$ により近似可能である。
• 命題6.1で確立されているように、ティッヒミュラー空間 $T_{g,m}$ 内の $\mathbb{C}^2$ に正則埋め込みをもつリーマン面の集合 $E_{g,m}$ は空でなく、開集合である。
• 系1.3で述べられているように、境界付きリーマン面 $D$ 内の離散点列 $\{a_j\}$ と $\mathbb{C}^2$ 内の離散点列 $\{b_j\}$ に対して、$\varphi(a_j) = b_j$ を満たす適切な正則埋め込み $\varphi: D \to \mathbb{C}^2$ が存在する。
• 正則拡張と変形を用いた埋め込みの近似法により、像曲線の境界を自己交差を生じさせずに無限遠に押し出すことができ、埋め込み問題における主要な技術的課題が解決される。