[論文レビュー] Borel Cantelli Lemmas and Extreme Value Theory for Geometric Lorenz Models

Zhang Li-cheng|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、幾何的ローレンツ写像およびその関連する流れに対して、相関の減衰と帰還時間解析を用いて、強いボレル＝カンテーリー補題および極値分布に関する極限定理を確立する。帰還時間の非可積分性と非一様な双曲的性質を考慮し、極値分布の型Iへの収束を示す。力学系における希少事象が適切な正規化のもとで統計的極限定理を満たすことを示している。

ABSTRACT

We establish dynamical Borel-Cantelli lemmas for nested balls and rectangles centered at generic points in the setting of geometric Lorenz maps. We also establish extreme value statistics for observations maximized at generic points for geometric Lorenz maps and the associated flow.

研究の動機と目的

• 古典的確率的極限定理（特にボレル＝カンテーリー補題および極値理論）を、幾何的ローレンツ写像および流れの決定的設定へと拡張すること。
• アトラクタ上の一般点における観測値の最大値を用いて、カオス的系における希少事象の統計的挙動を分析すること。
• 観測関数の最初の帰還時間および極値が一般化極値分布に収束するための条件を確立すること。
• 幾何的ローレンツ系における一般点を中心とする入れ子の球および長方形に対して、強いボレル＝カンテーリー性質を証明すること。
• 不変測度を用いたサスペンション構成を用いて、離散写像から連続的サスペンション流れへと結果を拡張すること。

提案手法

• 線形流れのサスペンションから得られる、$ x=0 $ における不連続性を有する $ F: \Omega^* \to \Omega $ というPoincaré最初の帰還写像を用いて、幾何的ローレンツモデルを構築する。
• ヤングタワー構造と局所的積構造を用いて、系における混合性および相関の減衰を分析する。
• ガル＝コックスマ定理を適用し、帰還時間上の指示関数の部分和の分散を制御することで、(SP)性質を確立する。
• 帰還時間 $ h(p) $ が可積分でないことを分析し、測度 $ d_{\Omega^h} $ を持つ $ \Omega^h $ 上のサスペンション流れ $ \tilde{f}_t $ を構成する。
• 点 $ x_0 $ における対数特異性を有する観測関数 $ \varphi(x) = -\log d_{\Omega^h}(x, x_0) $ を定義し、時間経過におけるその最大値を研究する。
• 正規化列 $ a_n, b_n $ に関する条件下で、正規化された最大値 $ a_N(\Phi_N - b_N) \to e^{-e^{-v}} $ が型I極値法に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的ローレンツ写像における一般点を中心とする入れ子の球および長方形が、強いボレル＝カンテーリー補題を満たす条件は何か？
• RQ2 幾何的ローレンツ写像およびその関連する流れにおいて、一般点で最大値をとる観測関数に対して極値法則が成立するか？
• RQ3 正規化定数 $ a_n $ と $ b_n $ はどのように漸近的に振る舞うことで、非退化な極値分布への収束を保証できるか？
• RQ4 非可積分な帰還時間 $ h(p) $ は、連続的流れにおける極値法則の導出において果たす役割は何か？
• RQ5 非一様双曲的系（例えばローレンツ写像）において、帰還時間の指示関数の分散を制御するためにガル＝コックスマ定理を適用できるか？

主な発見

• 入れ子の球および長方形が一般点を中心とする幾何的ローレンツ写像において、相関の減衰と(S)条件を用いた証明により、強いボレル＝カンテーリー性質が成立する。
• 離散的ローレンツ写像 $ F $ に対して、観測関数 $ \varphi $ の最大値 $ \Phi_N $ は、適切な正規化のもとで型I極値法則 $ a_N(\Phi_N - b_N) \to e^{-e^{-v}} $ を満たす。
• 連続的流れ $ f_t $ における極値法則はサスペンション構成を用いて確立され、$ a_{\lfloor T/\bar{h}\rfloor}(\varphi_T - b_{\lfloor T/\bar{h}\rfloor}) \to e^{-e^{-v}} $ が成り立つ。
• 正規化列 $ a_n $ と $ b_n $ は、$ \lim_{\epsilon \to 0} \limsup_{n \to \infty} a_{[n+\epsilon n]} / a_n = 1 $ および $ |b_{[n+\epsilon n]} - b_n| \to 0 $ を満たし、極限定理の安定性を保証する。
• 証明は帰還時間 $ h $ の非可積分性に依拠しており、[10,補題4.18]を用いて処理され、帰還指示関数の和における分散の制御にガル＝コックスマ定理が適用されている。
• 主な技術的ステップは、$ \sum_{j=i+1}^{i+(\log i)^5} [\mu(A_i \cap F^{j-i}A_j) - \mu(A_i)\mu(A_j)] \leq \tilde{C}\mu(A_i) $ の共分散和の評価であり、これが(S)性質の確認を可能にする。