[論文レビュー] BOREL OPEN COVERING OF HILBERT SCHEMES

Margherita Roggero|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2009

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、プルーネル座標を用いたボレル固定イデアルに基づくヒルベルト多様体の開被覆を導入し、各開集合 $ H_J $（$ J $ はボレル固定単項式イデアル）が、$ J $ に対する単項式基底の補集合をなす斉次イデアルをパラメトライズすることを示している。さらに、これらの開集合が $ \mathrm{GL}(n+1) $-作用に関してヒルベルト多様体を被覆すること、および $ H_J $ が高々 $ d+2 $ 次の多項式によって定義されることを証明している。主な貢献は、局所的プルーネル座標を用いた有限で幾何的に意味のあるヒルベルト多様体の開被覆の構成である。

ABSTRACT

Let p(t) be an admissible Hilbert polynomial in Pn of degree d and Gotzmann number r. It is well known that Hilbn p(t) can be seen as a closed subscheme of the Grasmannian G(N, s), where N = `n+r ´ and s = N − p(r), hence, by Plücker embedding, it becomes a closed subset of a n suitable projective space. Let us denote by B the finite set of the Borel fixed ideals in k[X0,..., Xn] generated by s monomials of degree r. We associate to every monomial ideal J ∈ B, a Plücker coordinate pJ. If UJ is the open subset of G(N, s) given by pJ ̸ = 0, which is isomorphic to the affine space As(N−s) , then HJ = Hilbn p(t) ∩ UJ is an open subset of Hilbn p(t) and then can be seen as an affine subvariety of As(N−s). The main results obtained in this paper are the following: i) HJ ̸ = ∅ ⇔ Proj(k[X0,..., Xn]/J) ∈ Hilbn p(t); ii) if non-empty, HJ parametrizes all the homogeneous ideals I such that the set NJ of the monomials not belonging to J is a basis of k[X0,..., Xn]/I as a k-vector space; iii) the ideal defining HJ as a subvariety of As(N−s) (i.e. in “local ” Plücker coordinates) is generated in degree ≤ d + 2; iv) HJ can be isomorphically projected into a linear subspace of As(N−s) of dimension ≤ σ(N −s), where σ is the number of minimal generators of the saturation Jsat of J; v) up to changes of coordinates in Pn, the open sets HJ cover Hilbn p(t) , namely: Hilb n p(t) = G g(HJ). g∈GL(n+1) J∈B 1.

研究の動機と目的

• ボレル固定単項式イデアルに付随する開部分集合を用いて、ヒルベルト多様体 $ \mathrm{Hilb}^n_{p(t)} $ の有限開被覆を構成すること。
• 各開集合 $ H_J $ の空でない条件を、$ \mathrm{Proj}(k[X_0,\dots,X_n]/J) \in \mathrm{Hilb}^n_{p(t)} $ であると特徴付けること。
• $ H_J $ のアフィン空間内での定義イデアルが高々 $ d+2 $ 次で生成されることを示し、アルゴリズム的・幾何的解析を可能にすること。
• $ H_J $ が、$ J^{\text{sat}} $ の最小生成元の数を表す $ \sigma $ を用いて、高々 $ \sigma(N-s) $ 次元の線形部分空間へ同型射影可能であることを示すこと。
• すべての $ H_J $ の $ \mathrm{GL}(n+1) $-作用による像の和集合が、全体のヒルベルト多様体 $ \mathrm{Hilb}^n_{p(t)} $ を被覆することを証明すること。

提案手法

• 各ボレル固定単項式イデアル $ J \in B $ をプルーネル座標 $ p_J $ に結びつけ、$ p_J \neq 0 $ となる $ \mathrm{Gr}(N,s) $ 内の開集合 $ U_J \subset \mathrm{Gr}(N,s) $ を定義する。
• $ H_J = \mathrm{Hilb}^n_{p(t)} \cap U_J $ を定義し、局所的プルーネル座標を用いて $ \mathbb{A}^{N-s} $ 内のアフィン多様体として扱う。
• $ H_J \neq \emptyset $ であることは、$ \mathrm{Proj}(k[X_0,\dots,X_n]/J) \in \mathrm{Hilb}^n_{p(t)} $ であることと同値であることを用い、幾何的属する条件と空でない条件を結びつける。
• Gotzmann数 $ r $ とヒルベルト多項式の次数 $ d $ を用いて、$ H_J \subset \mathbb{A}^{N-s} $ の定義イデアルが高々 $ d+2 $ 次で生成されることを示す。
• $ J^{\text{sat}} $ の最小生成元の数を表す $ \sigma $ を用いて、$ H_J $ を高々 $ \sigma(N-s) $ 次元の部分空間へ同型射影する線形写像を構成し、同型性を保つ。
• すべての $ J \in B $ に対して $ H_J $ の $ \mathrm{GL}(n+1) $-作用による像の和集合が、全体のヒルベルト多様体 $ \mathrm{Hilb}^n_{p(t)} $ を被覆することを証明し、グローバルな開被覆を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト多様体 $ \mathrm{Hilb}^n_{p(t)} $ 内の開集合 $ H_J $ が空でないのはいつか？ そして、幾何的にどのように特徴付けられるか？
• RQ2 $ H_J \subset \mathbb{A}^{N-s} $ としての定義式の最大次数は何か？ そして、ヒルベルト多項式の次数 $ d $ とどのように関係するか？
• RQ3 $ H_J $ は低次元の線形空間へ同型射影可能か？ その次元は何かに依存するか？
• RQ4 ボレル固定イデアルによって添字づけられた $ H_J $ は、$ \mathrm{GL}(n+1) $-作用に関してヒルベルト多様体全体をどのように被覆するか？
• RQ5 $ J^{\text{sat}} $ の役割は、局所モデル $ H_J $ の複雑さを決定づけるものか？

主な発見

• 開集合 $ H_J $ は、$ \mathrm{Proj}(k[X_0,\dots,X_n]/J) $ がヒルベルト多様体 $ \mathrm{Hilb}^n_{p(t)} $ に属するときかつそのときに限り空でない。これは空でない条件の幾何的基準を提供する。
• 空でないとき、$ H_J $ は、$ J $ に含まれない単項式が $ k[X_0,\dots,X_n]/I $ の $ k $-ベクトル空間としての基底をなすようなすべての斉次イデアル $ I $ をパラメトライズする。
• $ H_J \subset \mathbb{A}^{N-s} $ の定義イデアルは、ヒルベルト多項式 $ p(t) $ の次数 $ d $ を用いて、高々 $ d+2 $ 次で生成される。
• 各 $ H_J $ は、$ J^{\text{sat}} $ の最小生成元の数を表す $ \sigma $ を用いて、高々 $ \sigma(N-s) $ 次元の線形部分空間へ同型射影可能である。
• すべての $ H_J $（$ J \in B $）の $ \mathrm{GL}(n+1) $-作用による像の和集合は、全体のヒルベルト多様体 $ \mathrm{Hilb}^n_{p(t)} $ を被覆する。これにより、有限で幾何的に意味のある開被覆が得られる。