[論文レビュー] Borel sets which are null or non-$\sigma$-finite for every translation invariant measure

Márton Elekes, Tamás Keleti|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、リウヴィル数の集合が、すべてのℝ上の平行移動不変Borel測度に関して、測度がゼロまたはσ-有限でない（＝非測度的）であることを証明している。これはD. Mauldinが提起した問いに答えている。密度のあるGδ集合の構造的性質と、Fubiniの定理、非空内部を持つコンパクト集合の差集合を用いた測度論的議論により、著者たちはこの結果を、非正規数や特定のBesicovitch-Eggleston集合、およびFσでないBorel部分群に対しても拡張している。

ABSTRACT

We show that the set of Liouville numbers is either null or non-$\sigma$-finite with respect to every translation invariant Borel measure on $\RR$, in particular, with respect to every Hausdorff measure $\iH^g$ with gauge function $g$. This answers a question of D. Mauldin. We also show that some other simply defined Borel sets like non-normal or some Besicovitch-Eggleston numbers, as well as all Borel subgroups of $\RR$ that are not $F_\sigma$ possess the above property. We prove that, apart from some trivial cases, the Borel class, Hausdorff or packing dimension of a Borel set with no such measure on it can be arbitrary.

研究の動機と目的

• D. Mauldinが提起した、リウヴィル数の集合が、正かつσ-有限な平行移動不変Borel測度をもつかどうかという未解決問題を解決すること。
• すべての平行移動不変Borel測度に関して、測度がゼロまたはσ-有限であるBorel集合（「非測度的」として定義）を特徴付けること。
• 非正規数や特定のBesicovitch-Egglestonクラスを含む、自然に定義されたいくつかのBorel集合が非測度的であることを示すこと。
• 非測度的集合が、自明でない場合を除き、任意のBorelクラスおよび任意のハウスドルフ次元またはパッキング次元をもつことができることを示すこと。
• FσでないℝのBorel加法的部分群は、必ず非測度的であることを確立し、非測度性の一般的構造的基準を提供すること。

提案手法

• Lebesgue測度がゼロで、平行移動不変性の集合が稠密な非空Gδ集合が非測度的であることを、測度論的補題を用いて証明する。
• 集合{(x, y) : x + y ∈ B}にFubiniの定理を適用し、µ(B) > 0 かつ σ-有限であるという仮定の下で、λ-ほとんど everywhereのtに対してµ(B ∩ (B + t)) = 0であることを示す。
• 内部が空でないC − Cを満たすコンパクト部分集合C ⊂ Bを、内正則性とBorel集合の構造を用いて構成する。
• C − Cの非空内部を用いて、B内に非可算個の互いに素なCの平行移動を生成し、µ(B) = ∞であることを示す。
• 一般結果をリウヴィル数の集合に適用する。これはLebesgue測度がゼロで、有理数による平行移動に関して不変な稠密なGδ集合である。
• 構造的議論により結果を他の集合へ拡張する：非正規数およびBesicovitch-Eggleston集合の補集合は、同じ不変性および測度ゼロの条件を満たすことが示される。
• 群論的および次元論的道具を用いて、FσでないℝのBorel加法的部分群がすべて非測度的であることを証明する。
• 線形独立集合の直和を用いた直接構成と、Lipschitz写像による次元評価を用いて、任意のハウスドルフまたはパッキング次元をもつ非可算個の非測度的集合の族を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リウヴィル数の集合は、ℝ上で正かつσ-有限な平行移動不変Borel測度をもつか？
• RQ2 Gδ集合のような規則的な構造をもつBorel集合が、非測度的（すべての平行移動不変Borel測度に関して測度がゼロまたはσ-有限でない）であることはあり得るか？
• RQ3 任意のBorelクラスまたはハウスドルフ次元をもつBorel集合が非測度的であることはあり得るか？
• RQ4 FσでないℝのBorel部分群は、すべて非測度的であると見なされるべきか？
• RQ5 あるBorel集合上で正かつσ-有限な平行移動不変Borel測度が存在することは、同じ性質をもつ適切なハウスドルフ測度またはパッキング測度の存在を示唆するのか？

主な発見

• リウヴィル数の集合は非測度的である：すべてのℝ上の平行移動不変Borel測度に関して、測度がゼロまたはσ-有限でない。
• [0,1]における非正規数の集合は非測度的である。これはLebesgue測度がゼロで、有理数による平行移動に関して不変な稠密なGδ集合であるため。
• Besicovitch-Eggleston集合BE(1,0)の補集合は、同様の構造的および測度論的性質のため非測度的である。
• FσでないℝのBorel加法的部分群はすべて非測度的であり、非測度的集合の一般クラスを提供する。
• 任意のBorelクラス（開集合を除く）および任意のハウスドルフまたはパッキング次元をもつ非測度的Borel集合が存在する。
• 任意のα ∈ (0,1)に対して、ハウスドルフ次元がαである非測度的Borel部分群G′αが存在する。この構成は、可算和を用いてα = 1へ拡張可能である。