[論文レビュー] Borel summability and the non perturbative $1/N$ expansion of arbitrary quartic tensor models

Thibault Delepouve, Razvan Gurău+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 33被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、複数の中間場を用いた新規なループ頂点展開と、コーシー＝シュワルツに基づくバインディングを用いて、任意の四次テンソル模型におけるボレル和分可能性を確立した。テンソルサイズが増加する際の一様収束性が証明された。$1/N$展開が構成的であることを示した：各積率は明示的な項と、カーディオイド領域内の$1/N$-抑制された解析的剰余項に分解される。

ABSTRACT

We extend the proof of Borel summability of melonic quartic tensor models to tensor models with arbitrary quartic interactions. This extension requires a new version of the loop vertex expansion using several species of intermediate fields and new bounds based on Cauchy-Schwarz inequalities. The Borel summability is proven to be uniform as the tensor size becomes large. Furthermore, we show that the $1/N$ expansion of any quartic tensor model can be performed at the constructive level, that is we show that every cumulant is a sum of explicit terms up to some order plus a rest term which is an analytic function in the coupling constant in a cardioid domain of the complex plane and which is suppressed in $1/N$.

研究の動機と目的

• メロン型から一般の四次テンソル模型へのボレル和分可能性の拡張を図ること。
• すべての四次相互作用に対して有効な構成的$1/N$展開フレームワークの構築。
• テンソルサイズの増大に伴うボレル和分可能性の一様性の保証。
• 積率が明示的な項と$1/N$-抑制された解析的剰余項に分解されることの証明。
• 複素結合定数平面におけるカーディオイド領域内での剰余項の解析的制御の確立。

提案手法

• 任意の四次相互作用を扱えるように、複数種の中间場を用いた新規なループ頂点展開を導入する。
• コーシー＝シュワルツの不等式を適用し、展開におけるテンソル縮約に対する新たなバインディングを導出する。
• $1/N$展開における発散を制御するためのマルチスケール解析フレームワークを構築する。
• 展開係数の成長をテンソルサイズに依存せずにバインディングすることで、一様なボレル和分可能性を証明する。
• 各積率における剰余項を、複素結合定数平面のカーディオイド領域内で解析的であると特徴付ける。
• 剰余項が$1/N$のべきで抑制されることを示し、$1/N$展開が構成的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボレル和分可能性は、メロン型相互作用にとどまらず、すべての四次テンソル模型へ拡張可能か？
• RQ2 ループ頂点展開は、任意の四次相互作用を扱えるようにどのように一般化可能か？
• RQ3 テンソルサイズの増大に伴う一様なボレル和分可能性を保証するには、どのようなバインディングが必要か？
• RQ4 $1/N$展開を個々の積率のレベルで構成的にできるか？
• RQ5 $1/N$展開における剰余項の解析的領域は何か？ そしてどのように抑制されるか？

主な発見

• ボレル和分可能性は、メロン型に限らず、すべての四次テンソル模型においてテンソルサイズに一様に成立する。
• $1/N$展開は構成的である：各積率は明示的な項と、カーディオイド領域内で解析的である剰余項の和として表される。
• 剰余項は$1/N$のべきで抑制され、展開の漸近的性質が確認された。
• 複数種の中间場を用いた新規なループ頂点展開により、任意の四次相互作用に対する制御が可能となった。
• コーシー＝シュワルツに基づくバインディングは、テンソルサイズにわたる一様収束性を導くために不可欠である。
• 剰余項の解析的領域は、複素結合定数平面におけるカーディオイドであり、ボレル変換の収束を保証する。