[論文レビュー] Borel summation of the small time expansion of the heat kernel. The scalar potential case

Thierry Hargé|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^\nu$ 上のシュレーディンガー作用素 $-\Delta + V(x)$ の微小時間における熱核の漸近展開が、ポテンシャル $V$ に強い解析性および減衰性の条件が課された下で、Borel和可能であることを確立している。また、Borel和は共役熱核を回復する。トーラス上の周期的ポテンシャルの場合、トレース展開がBorel和可能であるが、Borel和による係数からの単独再構成は不可能であることを示す、Poisson公式が導出される。

ABSTRACT

We study the Borel summability of the small time expansion of the heat kernel for the Schrödinger operator in several dimensions. On the torus, we prove a Poisson formula.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^\nu$ 上の $-\Delta + V(x)$ の微小時間における熱核の漸近展開が、$V$ に強い仮定を課した下でBorel和可能であることを確立すること。
• 強い $V$ の仮定の下で、展開のBorel和が共役熱核 $p_t^{\text{conj}}(x,y)$ を回復することを示すこと。
• トーラス $\mathbb{T}^\nu$ 上で $V$ が周期的である場合の熱核トレースに対するPoisson公式を導出すること。
• 係数の展開はBorel和可能であるが、Borel和による係数からの単独再構成では全トレースを回復できないことの証明。

提案手法

• 共役熱核を調和振動子の背景と摂動的ポテンシャル $c(x)$ を持つ経路積分として表現するための変形公式を用いる。
• 時間順序付き指数関数 $\exp\left(\int c(q^\natural(s) + w(s))\,ds\right)$ の経路 $w$ に対する期待値を計算するため、Wick型ガウス積分公式を適用する。
• 微分作用素 $A = -d^2/ds^2 + \omega^2$ の逆作用素を経路積分における伝搬関数として用い、ガウス積分技法を適用可能にする。
• 変形公式を、$c(q^\natural(s) + w(s))$ のテイラー展開とガウス測度に対するラプラス変換恒等式を用いて導出する。
• 漸近級数 $\sum a_k(x,y)t^k$ のBorel和可能性を示すために、級数が収束積分のBorel変換であることを示す。
• トーラス上での熱核トレースにPoisson和公式を適用し、$\mathbb{Z}^\nu$ 内のフーリエモード $q$ に関する双対展開を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小時間における $-\Delta + V(x)$ の熱核の漸近展開が、どのような条件下でBorel和可能となるか？
• RQ2 共役熱核 $p_t^{\text{conj}}(x,y)$ は、その漸近係数からBorel和により再構成可能か？
• RQ3 ポテンシャル $V$ がトーラス $\mathbb{T}^\nu$ 上で周期的であるとき、熱核トレースに対してPoisson公式が成立するか？
• RQ4 トーラス上でのトレース展開はBorel和可能であるが、なぜBorel和による係数からの単独再構成が不可能なのか？

主な発見

• ポテンシャル $V(x) = \alpha x^2 - c(x)$ に対して、$c(x)$ が測度 $\mu$ のフーリエ変換として与えられ、$\int \exp(\varepsilon \xi^2) d|\mu|(\xi) < \infty$ を満たすという強い解析性および減衰性の仮定の下で、共役熱核 $p_t^{\text{conj}}(x,y)$ の微小時間展開はBorel和可能である。
• 漸近級数 $\sum_{k=0}^{r-1} a_k(x,y)t^k$ のBorel和は、共役熱核 $p_t^{\text{conj}}(x,y)$ に等しくなる。これにより、古典的係数から量子的対象を再構成可能である。
• トーラス $\mathbb{T}^\nu$ 上では、熱核トレースに対して正確なPoisson公式が成立する：$\sum_n e^{-\lambda_n t} = (4\pi t)^{-\nu/2} \sum_{q \in \mathbb{Z}^\nu} e^{-q^2/(4t)} u_q(t)$、ここで $u_q(t)$ は $t$ に関する級数のBorel和である。
• 各 $u_q(t)$ はBorel和可能であるが、全トレースは係数 $a_1, a_2, \dots$ のみからBorel和によって回復できない。なぜなら $a_k = a_{k,0}$ であるが、$q \neq 0$ の $u_q$ 項が非自明に寄与するためである。
• 変形公式は、調和振動子の経路 $q^\natural_\omega(s)$ とフラクチュエーション $w(s)$ に対するガウス積分を用いた経路積分的手法により導出される。伝搬関数 $A^{-1}$ は双曲正弦関数を含むグリーン関数として与えられる。
• Wick公式の使用により、$c(q^\natural(s) + w(s))$ の時間順序付き指数関数が、$c(z)$ に作用する微分作用素として表現され、最終的な変形公式が得られる。