[論文レビュー] Born's rule from almost nothing

Sabine Hossenfelder|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、量子力学の確率の公理であるボルンの法則を、ユニタリ不変性、連続性、自由度の数に依存しない性質という3つの根幹的原則から導出する。対称な重ね合わせにおいて遷移確率が一様に分布し、基底の置換に対して不変であるように要求することで、著者たちは唯一一貫した確率測度が |⟨Ψ|Φ⟩|² であることを示し、追加の公理や解釈的付加物なしにボルンの法則を導出する。

ABSTRACT

We here put forward a simple argument for Born's rule based on the requirement that the probability distribution should not be a function of the number of degrees of freedom.

研究の動機と目的

• ボルンの法則を独立した公理としてではなく、物理的原則の結果として導出すること。
• 多世界解釈や意思決定理論といった解釈的枠組みに依存しないこと。
• 確率分布が量子系の自由度の数 N に依存しないこと。
• ユニタリ不変性と正規直交基底との整合性が、確率則を |⟨Ψ|Φ⟩|² に一意に固定することを確立すること。

提案手法

• 次元 N の複素単位球面上で遷移確率 PN(|Ψ⟩→|Φ⟩) を定義し、それが実数であり、0 から 1 の間にあること、かつ正規直交基底全体で合計が 1 になるように要求する。
• ユニタリ不変性を課し、確率が内積 ⟨Ψ|Φ⟩ のみに依存することにし、複素単位円上の関数 P(z) に問題を簡略化する。
• P(0) = 0（直交する状態の間では遷移確率が 0）という条件と、|Ψ*⟩ = e^{iθ}∑|Ψⁱ⟩/√N のような対称状態の正規化から、P(1/√N) = 1/N を固定する。
• 最初の K 個のベクトルが元の K 個のベクトルのフーリエ変換版であるような新たな正規直交基底を構成し、対称性を保ちつつ、P(√(K/N)) = K/N が導けるようにする。
• 連続性を用いて実数値の確率へ拡張し、P(√(K/N)) = K/N を満たす唯一の連続関数は P(z) = |z|² であると結論づける。
• 結論として、一貫性があり、ユニタリ不変であり、N に依存しない唯一の確率分布は P(|Ψ⟩→|Φ⟩) = |⟨Ψ|Φ⟩|² である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボルンの法則は、追加の公理を必要とせず、対称性と整合性条件から導けるか？
• RQ2 ユニタリ不変性は、量子遷移確率にどのような制約を課えるか？
• RQ3 なぜ確率分布が系の次元 N に依存しない必要があるのか？
• RQ4 対称重ね合わせにおける確率の均一分布は、確率則の関数形にどのような制約を課えるか？

主な発見

• ユニタリ不変性、連続性、自由度の数 N に依存しない唯一の確率分布は P(|Ψ⟩→|Φ⟩) = |⟨Ψ|Φ⟩|² である。
• 有理数の確率（K/N）に対しては、連続性を仮定せずとも P(√(K/N)) = K/N が固定され、規則が対称性と正規化によって一意に決定されることを示している。
• 正規直交基底における直交性から生じる条件 P(0) = 0 は、関数形を制約する上で中心的な役割を果たす。
• N に依存しないという仮定が不可欠であり、これにより複素単位球上で確率関数を稠密にサンプリングでき、すべての有理数値を導出可能になる。
• 多世界解釈や意思決定理論、環境デコherence を用いずに、ユニタリ対称性と整合性のみに依拠して結果が成り立つ。