[論文レビュー] Bose-Einstein Condensation in the Luttinger-Sy Model

O. Lenoble, Valentin A. Zagrebnov|ArXiv.org|Apr 27, 2006

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特異的点インパルティのポアソン確率的ポテンシャルを持つ1次元ルッティンガー＝シ模型におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）を厳密に証明する。凝縮はタイプIであり、対数的サイズの最大区間内に局在化しており、空間平均化された1体縮約密度行列が明示的に導出され、相関関数の指数的減衰と凝縮領域における非ゼロのODLROを確認している。

ABSTRACT

We present a rigorous study of the Bose-Einstein condensation in the Luttinger-Sy model. We prove the existence of the condensation in this one-dimensional model of the perfect boson gas placed in the Poisson random potential of singular point impurities. To tackle the off-diagonal long-range order we calculate explicitly the corresponding space-averaged one-body reduced density matrix. We show that mathematical mechanism of the Bose-Einstein condensation in this random model is similar to condensation in a one-dimensional nonrandom hierarchical model of scaled intervals. For the Luttinger-Sy model we prove the Kac-Luttinger conjecture, i.e., that this model manifests a type I BEC localized in a single "largest" interval of logarithmic size.

研究の動機と目的

• ポアソン分布する点インパルティを有する1次元ルッティンガー＝シ模型におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮の存在を厳密に確立すること。
• ランダムポテンシャルの下での凝縮の性質と局在化を分析し、特に1つの量子状態に巨視的に占有されている（タイプI BEC）かどうかを検討すること。
• 空間平均化された1体縮約密度行列を明示的に計算し、その熱力学的極限を特定すること。
• Kac-Luttinger予想、すなわちランダムモデルにおけるBECが単一の最大区間内に局在化することを厳密に検証すること。
• ランダムモデルと非ランダムな階層的モデルを比較し、一般化されたBECのタイプ（I, II, III）を分類すること。

提案手法

• ポアソン分布する特異的点インパルティによって生成されるランダムポテンシャルを有する1次元単粒子シュレーディンガー作用素の使用。
• 熱力学的極限における自己平均性の性質を用いて、状態密度の積分を明示的に計算すること。
• 空間平均化された1体縮約密度行列の定義と分析を通じて、非対角的長距離秩序（ODLRO）を調査すること。
• ランダムなインパルティ間の区間長に対する極値統計の応用により、最大区間が支配的であることを示すこと。
• ランダムモデルの統計的挙動を模倣する対数的サイズの区間を有する非ランダムな階層的モデルの構築。
• Borel-Cantelliの補題を用いて、エネルギー準位間隔のほとんど確実な収束を証明し、凝縮の断片化を回避すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン確率的ポテンシャルを有するルッティンガー＝シ模型においてボーズ＝アインシュタイン凝縮は発生するか？
• RQ2 凝縮はタイプIであるか、すなわち1つの量子状態に巨視的に占有されており、1つの最大区間内に局在化しているか？
• RQ3 ランダムポテンシャルは、2点相関関数の減衰および凝縮領域におけるODLROにどのように影響を与えるか？
• RQ4 異なる区間の基底状態間のエネルギー準位間隔が、凝縮の局在化を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 Kac-Luttinger予想、すなわちタイプI BECが単一の最大区間内に局在化することを、このランダムモデルで厳密に証明できるか？

主な発見

• ランダムポテンシャルのおかげでルッティンガー＝シ模型は一般化されたボーズ＝アインシュタイン凝縮を示し、状態密度のLifshitzテイルの振る舞いにより臨界次元が1に低下する。
• 空間平均化された1体縮約密度行列は、ほとんど確実に非確率的熱力学的極限を有し、全粒子密度に対して明示的に計算可能である。
• 凝縮領域においてODLROは非ゼロであり、凝縮密度に等しく、長距離秩序の存在を確認している。
• BECが存在する中でも2点相関関数は指数的に減衰し、ランダムインパルティによって減衰率が増大する。
• Kac-Luttinger予想は厳密に証明された：BECはタイプIであり、対数的サイズの1つの最大区間内に局在化しており、熱力学的極限において確率1で成立する。
• 2つの最大区間の基底状態間のエネルギー間隔が閾値を超える確率は $ e^{-rac{a}{2c^2 k^{1- u}} ext{length}^2} $ として減少し、$ k \to \infty $ のとき1に収束する。これにより凝縮の断片化は回避される。