[論文レビュー] Bose particles in a box II. A convergent expansion of the ground state of the Bogoliubov Hamiltonian in the mean field limiting regime

Alessandro Pizzo|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 17被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、有限な箱内の相互作用を有するボーズ・アインシュタイン凝縮系における粒子数保存型ボゴリューボフハミルトニアンの基底状態について、平均場限界領域における収束する摂動的展開を提示する。粒子状態の占有数における多スケール解析を用いて、真の演算子に基づく体系的な展開を導出し、N → ∞ において収束させることで、任意の精度まで厳密に基底状態を構成する。

ABSTRACT

In this paper we consider an interacting Bose gas at zero temperature, in a finite box and in the mean field limiting regime. The N gas particles interact through a pair potential of positive type and with an ultraviolet cut-off. Its (nonzero) Fourier components are sufficiently large with respect to the corresponding kinetic energies of the modes. Using the multi-scale technique in the occupation numbers of particle states introduced in [Pi1], we provide a convergent expansion of the ground state of the particle number preserving Bogoliubov Hamiltonian in terms of the bare operators. In the limit N o \infty the expansion is up to any desired precision.

研究の動機と目的

• 有限な箱内における零温度の相互作用を有するボーズガスの基底状態を厳密に構成すること。
• 従来、三モード系に適用されてきた占有数における多スケール技法を、全モードが相互作用するボゴリューボフハミルトニアンへと拡張すること。
• 結合定数が粒子密度の逆数に比例する平均場限界領域において、基底状態ベクトルの収束する展開を確立すること。
• N → ∞ において任意の所望の精度まで成立する非摂動的で体系的な真の演算子展開を提供すること。
• Feshbach-Schurフローが階層的で反復的な方法で複数のモードペアに適用可能であることを検証すること。

提案手法

• 単粒子状態の占有数における多スケール解析を用い、同伴論文 [Pi1] の三モード系に関する技術を基盤とする。
• 反復的 Feshbach-Schur フローを用いて相互作用するモードペアを分離し、各ペアを三モード系として取り扱う。
• ハミルトニアンフローの複素パrameter化を導入し、解析性と演算子ノルムの上限を用いて展開の収束を制御する。
• 紫外カットオフを導入する正則化スキームを提示し、モード占有数のスケーリングを通じて粒子数 N 依存性を制御する。
• 占有数シフトに関するグリーン関数および波動演算子成分の導関数に対する再帰的評価を導出する。
• 帰納法を用いて収束速度の均一な推定を確立し、グリーン関数の導関数が g ∈ (3,4) の範囲で O(h·g^{i−N+h}/√N) のオーダーで増大することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均場限界領域において、全粒子数保存型ボゴリューボフハミルトニアンの基底状態ベクトルに対する収束する展開を構成可能か？
• RQ2 占有数における多スケール技法を三モード系から全モードが相互作用するハミルトニアンへ一般化する方法は何か？
• RQ3 粒子数 N およびモード間相互作用の観点から、展開の収束に関する定量的評価は何か？
• RQ4 複数のモードペアにわたる Feshbach-Schur フローはどのように振る舞い、大 N 限界において一様に制御可能か？
• RQ5 紫外カットオフおよび強い相互作用仮定が、展開の収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 平均場領域において、ボゴリューボフハミルトニアンの基底状態ベクトルに対する収束する展開が構成され、N → ∞ において任意の精度まで有効である。
• 展開はすべての補正が多スケールスキームにより体系的に再結合された真の生成・消滅演算子で表される。
• グリーン関数および波動演算子の占有数シフトに関する導関数に対する再帰的評価により、一様な収束性が保証される。
• グリーン関数成分の導関数に対する評価が g ∈ (3,4) の範囲で O(h·g^{i−N+h}/√N) であることが示され、高次補正の指数的減衰が確認された。
• 解析により、Feshbach-Schur フローが複数のモードペアにわたって有効に機能することが確認され、基底状態の階層的・反復的構成が可能となった。
• 強い相互作用仮定のもとで収束が確立され、ポテンシャルのフーリエ成分が運動エネルギーに対して十分に大きいことが条件となる。