[論文レビュー] Bosonization of ZF Algebras: Direction Toward Deformed Virasoro Algebra

Sergei L. Lukyanov, Yaroslav Pugai|ArXiv.org|Dec 15, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、deformedスクリーニング作用素を用いて、IRF型のZamolodchikov-Faddeev (ZF)代数のボソン化手続きを提示し、deformed Virasoro代数におけるチャーラル頂点作用素の明示的実現を可能にした。この手法は、メロモーフィック関数の線形積分を用いて行列要素を構成し、楕円的R行列によって支配される交換関係を導出し、量子群対称性を有するdeformed conformal field theoriesの枠組みを提供する。

ABSTRACT

These lectures were prepared to be presented at A.A. Belavin seminar on CFT at Landau Institute for Theoretical Physics. We review bosonization of CFT and show how it can be applied to the studying of representations of Zamolodchikov-Faddeev (ZF) algebras. In the bosonic construction we obtain explicit realization of chiral vertex operators interpolating between irreducible representations of the deformed Virasoro algebra. The commutation relations of these operators are determined by the elliptic matrix of IRF type and their matrix elements are given in the form of the contour integrals of some meromorphic functions.

研究の動機と目的

• Zamolodchikov-Faddeev (ZF)代数のIRF型に対するボソン化手法を開発し、標準的CFT技法を一般化すること。
• deformed Virasoro代数の既約表現の間を接続するチャーラル頂点作用素を実現すること。
• メロモーフィック関数の線形積分を用いて、これらの作用素の明示的行列要素を導出すること。
• ZF代数とdeformed量子群対称性（特に$U_p(sl(2)) \otimes U_{p'}(sl(2))$）との関係を確立すること。
• 楕円的R行列を用いたdeformed頂点作用素の交換関係の体系的構成を提供すること。

提案手法

• 非共形的・deformed構造を扱うために、deformedスクリーニング作用素を導入することで、標準的ボソン化手続きを一般化する。
• チャーラル頂点作用素をdeformed自由ボソンの指数関数として構成し、その交換関係を楕円的R行列によって決定する。
• 頂点作用素の行列要素を、無限大q-Pochhammer積を含むメロモーフィック関数の線形積分表現を用いて導出する。
• 関数$g, g', w, w'$および$h$を用いて、deformed R行列$\mathbf{R}_{ab}^{cd}(\alpha)$および$\mathbf{S}_{ab}^{cd}(\beta)$を定義し、楕円的依存性を符号化する。
• 構成上、Yang-Baxter方程式、ユニタリティ、クロッシング対称性を満たし、$\epsilon \to 0$の極限で共形ケースに回復することを保証する。
• 得られた代数を、deformed理論の候補対称代数として、$U_p(sl(2)) \otimes U_{p'}(sl(2))$のテンソル積と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円的R行列を有するIRF型ZF代数は、Fock空間におけるボソン化によって実現可能か？
• RQ2 deformed Virasoro代数におけるチャーラル頂点作用素の明示的交換関係は何か？
• RQ3 これらの作用素の行列要素は、メロモーフィック関数の線形積分からどのように導かれるか？
• RQ4 deformed ZF代数の背後にある対称代数は何か？また、量子群とどのように関係するか？
• RQ5 deformedスクリーニング作用素は、共形ケースをどのように一般化するのか？また、頂点作用素の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、deformedスクリーニング作用素を用いて、deformed Virasoro代数におけるチャーラル頂点作用素の実現を構成し、標準的ボソン化を非共形的設定へ拡張した。
• 頂点作用素の行列要素は、無限大q-Pochhammer積を含むメロモーフィック関数の線形積分として明示的に与えられる。
• 頂点作用素の交換関係は、楕円的R行列$\mathbf{R}_{ab}^{cd}(\alpha)$および$\mathbf{S}_{ab}^{cd}(\beta)$によって支配され、Yang-Baxter方程式およびユニタリティを満たす。
• deformed R行列は、関数$g, g', w, w', h, u, \bar{h}$を用いて表現され、$x = e^{i\epsilon/2}$および$\xi$を用いた積表示を明示的に持つ。
• $\epsilon \to 0$の極限において、deformed行列は標準的共形ZF代数に還元され、既知のCFT結果と整合性が確認された。
• 定数$\rho, \bar{\rho}, \rho', \bar{\rho}'$はq-Pochhammer記号を用いて明示的に計算され、頂点作用素代数の正規化および一貫性を保証する。