[論文レビュー] Both Toffoli and Controlled-NOT need little help to do universal quantum computation

Yaoyun Shi|ArXiv.org|May 18, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 90

ひとこと要約

この論文は、計算基底を保存しない任意の単一キュービット実ゲートとトフォリゲートを組み合わせると、そのゲートがアダマールゲートやその変種と同値でない限り、量子計算に対して普遍的であることを証明している。この結果により、トフォリまたはCNOTと組み合わせて使用する際、計算基底を変える単一キュービット実ゲート（アダマールに類似するゲートを除く）のみが、普遍性を達成するために必要であることが明らかになり、普遍的量子計算に必要な最小限の量子リソースに関する根本的な問いに答えを提示した。

ABSTRACT

What additional gates are needed for a set of classical universal gates to do universal quantum computation? We answer this question by proving that any single-qubit real gate suffices, except those that preserve the computational basis. The result of Gottesman and Knill[quant-ph/9807006] implies that any quantum circuit involving only the Controlled-NOT and Hadamard gates can be efficiently simulated by a classical circuit. In contrast, we prove that Controlled-NOT plus any single-qubit real gate that does not preserve the computational basis and is not Hadamard (or its alike) are universal for quantum computing. Previously only a ``generic'' gate, namely a rotation by an angle incommensurate with pi, is known to be sufficient in both problems, if only one single-qubit gate is added.

研究の動機と目的

• トフォリやCNOTなどの古典的に普遍的なゲートから出発する場合、普遍的量子計算を達成するために必要な追加の量子ゲートの最小集合を特定すること。
• トフォリまたはCNOTに加えることで普遍性を達成する、計算基底を保存しない単一キュービット実ゲートの特定、特に計算基底を保存しないゲートに焦点を当てる。
• 一般の回転（無理数角）が、アダマールを除いて普遍性を達成する唯一のタイプであるかどうかという未解決の問いを解消し、計算基底を変える任意の実ゲートが十分であることを示すこと。
• キタエフ＝ソロヴァイの定理に依存しない直接的かつ構成的な普遍性の証明を提供し、多項式サイズの近似回路を実現するシンプルな手法を提示すること。

提案手法

• 計算基底を保存しない（すなわち、基底を変える）任意の単一キュービット実ゲートが、トフォリゲートと組み合わせることで普遍的であることを証明する。
• キタエフ＝ソロヴァイの定理に依存せず、構成的回路合成アプローチを用いて、トフォリと基底を変える単一キュービットゲートのみで任意の実単一キュービットゲートを近似する。
• アダカマ・ライクな反復とアーキテクチャに使用するアタッチメントキュービットを用いて、制御付き位相反転の近似を実行し、高精度で制御Z操作をシミュレートする。
• アタッチメントキュービットと制御操作を用いたサブ回路を導入し、単一キュービットゲートの条件付き適用を可能にし、非アーリアノードゲートの正確なシミュレーションを実現する。
• 複数の近似における誤差伝播を分析し、所望の精度に基づいてアタッチメントキュービット数と回路サイズの上限を設定する。
• 総誤差が O(γ) に比例することを確立し、ここで γ = cos²k₁θ であり、γ ≈ ε とすることで精度 ε を達成する。これにより、δθ と ε に依存する回路サイズとアタッチメントキュービット数の上限が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの単一キュービット実ゲートをトフォリゲートに加えると、普遍的量子計算が可能になるか？
• RQ2 CNOTに基づく回路でアダマールを置き換える際、計算基底を変える単一キュービットゲートの中で、普遍性を達成しない唯一の例外はアダマールゲートであるか？
• RQ3 一般のゲート（例：有理数角回転）ではなく、非一般のゲート（例：有理数角回転）でも普遍性を達成できるか？
• RQ4 キタエフ＝ソロヴァイの定理に依存しない直接的で非同値な構成により、多項式ゲート数で効率的な普遍的近似を達成できるか？
• RQ5 任意の実単一キュービットゲートを、トフォリと計算基底を変えるゲートを用いて近似する際に、必要なアタッチメントキュービット数と回路サイズの正確なスケーリングはどのようになるか？

主な発見

• 計算基底を保存しない任意の単一キュービット実ゲート（アダマールゲートやその変種と同値でない場合）とトフォリゲートを組み合わせると、量子計算に対して普遍的である。
• CNOTに任意の単一キュービット実ゲート T を加えると、T² が計算基底を保存しない場合に限り、普遍的である。このようなゲートが、CNOTベースの回路でアダマールを置き換える際の普遍性の唯一の例外である。
• 精度 ε を達成するための直接的構成が提供されており、O(δθ · ε⁻¹ · log ε⁻¹) のゲート数と O(δθ · log ε⁻¹) のアタッチメントキュービットを用いる。ここで δθ はゲートが計算基底を保存するのからどれほど逸脱しているかを定量化する。
• キタエフ＝ソロヴァイの定理に依存せず、反復的Groverライクな増幅と共有アタッチメントキュービットを用いた制御位相反転のシミュレーションを用いる。
• 近似における総誤差は O(γ) に比例し、γ = cos²k₁θ である。γ ≈ ε とすることで、所望の精度を達成でき、リソースのスケーリングを制御できる。
• この結果により、完全な基底を用いる場合、任意の実直交ゲートを精度 ε で近似するためのゲート数が ε⁻¹ の多項式対数関数的スケーリングで達成可能であることが示唆されるが、本研究の直接的構成では ε⁻¹ の多項式スケーリングが得られる。