[論文レビュー] Bound of automorphisms of projective varieties of general type

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Apr 21, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素数体上の滑らかで射影的で一般型の $n$-fold $X$ の自己同型群の位数に対して一様な上界を確立し、$|Γ(X)| \leq C_n \cdot \mu(X, K_X)$ が成り立つことを示している。ここで $C_n$ は $n$ のみに依存する定数であり、$\mu(X, K_X)$ は canonical volume である。証明は、軌道的幾何、乗数イデアル層、および解析的ザリスキ分解を組み合わせており、双有理的モデルの有界性とディオファントス的推定を用いて、volume に依存する上界を導出する。

ABSTRACT

We prove that there exists a positive number $C_{n}$ depending only on $n$ such that for every smooth projective $n$-fold of general type $X$ defined over {\bf C}, the automorphism group $Aut(X)$ satisfies the inequality $\sharp{Aut}(X)\leq C_{n}\cdotμ(X,K_{X})$, where $μ(X,K_{X})$ is the volume of $X$ with respect to $K_{X}$.

研究の動機と目的

• 複素数体上の滑らかで射影的で一般型の $n$-fold の自己同型群の位数に対して、一様な上界を確立すること。
• 曲線（$\sharp\mathrm{Aut}(C) \leq 84(g-1)$）および曲面（$\sharp\mathrm{Aut}(S) \leq 1764 \cdot K_S^2$）に対する古典的結果を高次元に拡張すること。
• 自己同型群の位数が canonical volume $\mu(X, K_X)$ によって制御されることを示し、定数 $C_n$ が $n$ のみに依存することを示すこと。
• 軌道的 canonical volume $K_{X/G,\text{orb}}^n$ が、$n$ のみに依存する正の定数 $c_n$ によって下から有界であることを示し、これが主な上界を導くこと。

提案手法

• 有限自己同型群 $G = \mathrm{Aut}(X)$ の canonical ring $R(X, K_X)$ への作用を用いて、$K_X$ が非常に正かつ canonical 特異点を持つ canonical model への還元を行う。
• 商 $X/G$ の解消を用いて、軌道的 canonical divisor $K_{X/G,\text{orb}}$ を定義し、公式 $K_{\tilde{X}} = \tilde{\pi}^*(K_{\tilde{X}/G} + \sum \frac{m_i - 1}{m_i} B_i)$ を用いる。
• 文献[6]の部分接合公式を用いて、log-canonical 特異点の最小中心の canonical divisor を $K_X$ と関連付ける。
• 文献[15]の帰納的有界性結果を用いて、$\mu(X/G, K_{X/G,\text{orb}}) \leq 1$ である $X/G$ が双有理的に有界であることを示す。
• Nadel の消去定理と解析的ザリスキ分解を用いて、乗数イデアル層と $L^2$-切断を制御する。
• 有理数の小数部に関するディオファントス的推定を用いて、軌道的 volume を下から有界化し、$K_{X/G,\text{orb}}^n \geq c_n$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影的で一般型の $n$-fold の自己同型群は、その canonical volume に依存する一様な上界で抑えられるか？
• RQ2 軌道的 canonical volume $K_{X/G,\text{orb}}^n$ は、$n$ のみに依存する正の下界をもつか？
• RQ3 曲線および曲面に対する古典的 Hurwitz および Xiao の境界は、一般型の高次元多様体へ一般化可能か？
• RQ4 一般型多様体の自己同型群の有限性から、volume に依存する一様な上界が導かれるか？
• RQ5 乗数イデアル層と解析的ザリスキ分解は、自己同型群の上界を導く際に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の複素数体上の滑らかで射影的で一般型の $n$-fold $X$ に対して、$n$ のみに依存する正の定数 $C_n$ が存在し、$|\mathrm{Aut}(X)| \leq C_n \cdot \mu(X, K_X)$ が成り立つ。
• 軌道的 canonical volume に対して $K_{X/G,\text{orb}}^n \geq c_n$ が成り立ち、$c_n > 0$ は $n$ のみに依存する。この不等式が主な上界を導く。
• $n=1$ の場合、$c_1 = 1/42$ は Hurwitz の定理を回復する。$n=2$ の場合、$c_2 = 1/1764$ は Xiao の境界を回復する。
• この上界は有効でない：$C_n$ や $c_n$ の明示的な表現は与えられていないが、ディオファントス的推定と有界性の議論により、それらの存在が証明されている。
• 証明は canonical ring の有限生成性（[14] からの仮定）と部分接合公式（[6] からの仮定）に依存している。
• 鍵となるステップは、例外的 divisor と軌道的寄与の和が有界であることを示し、小数部の推定を用いて軌道的 volume に下界を導くことである。