[論文レビュー] Bound on Eigenstate Thermalization from Transport

Anatoly Dymarsky|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Theoretical and Computational Physics被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、輸送および熱化ダイナミクスと関連付けることで、エイジェンステート熱平衡仮説（ETH）に対する厳密な境界を確立する。ETH行列要素がランダム行列理論（RMT）に従うエネルギースケールが、熱化時間の逆数よりもパラメトリックに小さい必要があることを証明しており、これは従来の仮定（このスケールがトゥーレスエネルギーに等しい）と矛盾する。

ABSTRACT

We show that macroscopic thermalization and transport impose constraints on matrix elements entering the Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) ansatz and require them to be correlated. It is often assumed that the ETH reduces to Random Matrix Theory (RMT) below the Thouless energy scale. We show this conventional picture is not self-consistent. We prove that energy scale at which the RMT behavior emerges has to be parametrically smaller than the inverse timescale of the slowest thermalization mode coupled to the operator of interest. We argue that the timescale marking the onset of the RMT behavior is the same timescale at which hydrodynamic description of transport breaks down.

研究の動機と目的

• 従来の仮定（ETHがトゥーレスエネルギーでRMTに還元される）と、巨視的輸送および熱化が課す物理的制約との不整合を解消すること。
• ETH行列要素におけるRMT的挙動が現れる真のエネルギースケールを特定し、トゥーレスエネルギーとは異なるものとして同定すること。
• 輸送ダイナミクスに基づいて、観測可能量の行列要素が熱平衡からどれほど逸脱するかの厳密な上界を導出すること。
• 輸送の流体力学的記述が、RMT的挙動が現れるのと同時に破綻することを示し、輸送とETH構造を結びつけること。

提案手法

• 観測可能量Aの時間平均自己相関関数を用いて、熱平衡からのずれを捉えるバンド行列δA_Tを定義する。
• δA_Tをサイズ2π/Tの小さな正方形の部分行列に分解し、既知のランダム行列固有値の境界を活用する。
• エネルギー幅が狭い範囲内で行列要素r_ijが統計的に独立であると仮定し、4π/T ≤ ΔE_RMTのとき正当化される。
• f²(ω)、すなわち二乗形式因子の積分を用いて、δA_Tの最大固有値の上界を導出する。x²(T) ≤ 72∫₀^{2π/T} f²(ω)dω が得られる。
• この上界を時間平均観測量応答と組み合わせることで、|⟨Ψ|δA_T|Ψ⟩|²の制約を導出し、熱平衡の二点関数と関連付ける。
• RMT的領域が現れるスケールΔE_RMTは、2π/ΔE_RMT ≫ τを満たす必要があり、ここでτは熱化時間である。これはΔE_RMT ≪ 2π/τを意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ETH行列要素がRMT的挙動を示す真のエネルギースケールは何か？ そしてそれはトゥーレスエネルギーとどのように関係するか？
• RQ2 なぜ従来の仮定（ETHがトゥーレスエネルギーでRMTに還元される）が、巨視的輸送および熱化と整合しないのか？
• RQ3 ETHアンザッツの非対角行列要素r_ijの相関が、観測可能量の熱化ダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ4 輸送の流体力学的記述が破綻する時間スケールは何か？ そしてそれはETHにおけるRMT的挙動の始まりとどのように関係するか？
• RQ5 輸送特性に基づいて、観測可能量の時間平均期待値が熱平衡値からどれほど逸脱するかの厳密な上界を導出できるか？

主な発見

• ETH行列要素がRMTに従うエネルギースケールΔE_RMTは、熱化時間τ⁻¹よりもパラメトリックに小さい、すなわちΔE_RMT ≪ 2π/τである。
• 時間平均ずれ行列δA_Tの最大固有値の上界は、x²(T) ≤ 72∫₀^{2π/T} f²(ω)dωとして導出され、ここでf(ω)は形式因子である。
• この上界は、観測可能量応答|⟨Ψ|δA_T|Ψ⟩|²が熱平衡の二点関数によって制約されることを示し、f²(ω)が2π/T未満で定数であれば上界がタイトになる。
• ETHにおけるRMT的挙動の始まりを示す時間スケールは、輸送の流体力学的記述が破綻するスケールと同一である。
• r_ijが狭いエネルギー幅ΔE_RMT内で無相関であると仮定するのは、ΔE_RMTがトゥーレスエネルギー2π/τよりも顕著に小さい場合にのみ整合的である。
• δA_Tの最大固有値は、f²(ω)の積分によって上界が与えられ、これはスペクトル関数および熱相関関数と直接関係している。