[論文レビュー] Boundaries of Positive Holomorphic Chains and the Relative Hodge Question

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素多様体における正の正則的チェーンの境界を特徴づけ、コンパクトなケーラー多様体 $X$ に境界 $M$ を持つコンパクトで向き付けられた $(2p-1)$-次元部分多様体 $M$ が正の正則的 $p$-チェーンを境界とするための必要十分条件として、相対ホモロジー類 $\tau \in H_{2p}(X,M;\mathbb{Z})$ が型 $(p,p)$ であり、かつ正であること、すなわち $\tau = [T + S]$ と表され、$T$ が正の正則的チェーンで $S$ が閉じた正の $(p,p)$-カレントであることを示している。主な結果は、リンク数とカレント理論的分解を用いた完全な特徴づけを提供する。

ABSTRACT

We characterize the boundaries of positive holomorphic chains (with both compact and non-compact support) in an arbitrary complex manifold. We then consider a compact oriented real submanifold of dimension 2p-1 in a compact Kahler manifold X and address the question of which relative homology classes in H_{2p}(X,M;Z) are represented by positive holomorphic chains. Specifically, we define what it means for a class u in H_{2p}(X,M;Z) to be of type (p,p) and positive. It is then shown that u has these properties if and only if u = [T+S] where T is a positive holomorphic chain with dT = du and S is a positive (p,p)-current with dS = 0.

研究の動機と目的

• コンパクトケーラー多様体 $X$ と境界 $M$ を持つ相対ホモロジー類 $\tau \in H_{2p}(X,M;\mathbb{Z})$ が、どの程度正の正則的 $p$-チェーンによって表されるかを特定すること。
• 任意の複素多様体における正の正則的チェーンの境界を、特に幾何的・解析的制約の下で完全に特徴づけること。
• $(p,p)$-リンク数の概念を定義・分析し、ホモロジー類が正の正則的チェーンによって表されるかどうかを検出する役割を解明すること。
• 理論を $q$-凸およびステイン多様体へ拡張し、さまざまな幾何的設定においてリンク条件の堅牢性を示すこと。

提案手法

• 論文は、ケーラー形式 $\omega$ を用いて $d^{p,p}\alpha + \frac{1}{p!}\omega^p \geq 0$ を満たす $(p,p)$-正のリンク形式 $\alpha$ の概念を導入する。
• このような形式に対して、サイクル $\Gamma$ の $(p,p)$-リンク数を $\int_\Gamma \alpha$ として定義し、$\Gamma$ が正の正則的 $p$-チェーンの境界であるための必要十分条件が、これらのリンク数が下から有界であることであることを証明する。
• 証明は、$d$-閉じた正の $(p,p)$-カレントの構造を用いて、カレントを正の正則的チェーンと残渣カレントに分解する手法に依拠する。
• 特異集合を越えたカレントの拡張理論と $q$-凸多様体の理論を用いて、コンパクトケーラー多様体を超える一般化を達成する。
• 次元が低い部分集合を持つカレントとしての残渣カレントの概念を用い、カレントの境界が消えることと、正則的チェーンへの分解が存在することの関係を示す。
• 正則的チェーンの拡張の一意性と、$\partial\overline{\partial}$-閉形式の構造を活用して、主定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトケーラー多様体 $X$ と境界 $M$ を持つ相対ホモロジー類 $\tau \in H_{2p}(X,M;\mathbb{Z})$ が、正の正則的 $p$-チェーンから生じる条件は何か？
• RQ2 複素多様体 $X$ 内の $(2p-1)$-サイクル $\Gamma$ が正の正則的 $p$-チェーンの境界となるために必要な条件は何か？
• RQ3 $(p,p)$-リンク数は、所望の境界を持つ正の正則的チェーンの存在とどのように関係するか？
• RQ4 多様体 $X$ が $q$-凸またはステインであるなどの条件下で、リンク条件が正の正則的チェーンの存在を保証するための条件は何か？
• RQ5 残渣カレントは、正のカレントの分解と正則的チェーンの上への持ち上げの存在にどのような役割を果たすか？

主な発見

• コンパクトで向き付けられた $(2p-1)$-次元部分多様体 $M$ がコンパクトケーラー多様体 $X$ 内にあるとき、$M$ が正の正則的 $p$-チェーンを境界とするための必要十分条件は、その相対ホモロジー類 $\tau$ が型 $(p,p)$ であり、かつ正であることである。
• 正の正則的 $p$-チェーン $V$ の境界 $\Gamma = dV$ は、リンク条件を満たす：すべての $(p,p)$-正のリンク形式 $\alpha$ に対して $\int_\Gamma \alpha \geq -\Lambda$ が成り立ち、ここで $\Lambda$ は $V$ の質量を上から抑える。
• リンク数は $X$ 上のヘルミート計量の選び方に依存せず、幾何的に内因的であることが保証される。
• $q$-凸多様体で $q \leq p$ の場合、定理 1.1 はコンパクト台付き正則的チェーンへ拡張され、リンク条件が基準として保たれる。
• もし $\Gamma$ が残渣的（例えば両面的または一意性を持つ片面的）であれば、$\Gamma = dT$ が正の $(p,p)$-カレント $T$ に対して成り立つならば、$T - V \geq 0$ を満たす整数係数の正の正則的チェーン $V$ が存在して $\Gamma = dV$ が成り立つ。
• 条件 $d^{p,p}\alpha + \frac{1}{p!}\omega^p \geq 0$ は、$\Gamma$ 上での $\alpha$ の積分がリンク数を定め、結果として $\Gamma$ が境界として表されるかどうかを決定する形式のクラスを特徴づける。