[論文レビュー] Boundaries, rigidity of representations, and Lyapunov exponents

Uri Bader, Alex Furman|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、境界理論、群表現の剛性、力学系におけるリャプノフ指数の単純性の間の接続を確立する。新たな群境界のエルゴディック的性質を導入し、可測コサイクル技術を用いることで、非可換的またはザリスキ・dürftな仮定が弱い条件下でもリャプノフスペクトルが単純であることを証明し、p.m.p.作用を超える超剛性原理の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this paper we discuss some connections between measurable dynamics and rigidity aspects of group representations and group actions. A new ergodic feature of familiar group boundaries is introduced, and is used to obtain rigidity results for group representations and to prove simplicity of Lyapunov exponents for some dynamical systems.

研究の動機と目的

• 群境界の新たなエルゴディック的性質を発展させ、群表現の剛性を研究すること。
• 特定の非確率測度保存型力学系におけるリャプノフ指数の単純性を証明すること。
• 可測コサイクル法を用いて、p.m.p.作用を超える超剛性型結果を拡張すること。
• 境界理論を用いて旗多様体上の不変測度と可測 $Γ$-写像の間の対応を確立すること。
• $G/P$ 上の測度の収縮とマルティンゲール収束を用いた、スペクトル単純性を示すフレームワークを提供すること。

提案手法

• Lebesgue $Γ$-空間における等長的エルゴディシティおよびその相対的版である $Γ$-写像の相対的等長的エルゴディシティの概念を導入する。
• 群 $Γ$-同変写像 $Φ: X \to G/P$ を持つ境界対 $(X, Φ)$ の概念を用いて、旗多様体への可測 $Γ$-写像を定義する。
• マルティンゲール収束定理を適用し、ほとんど everywhere での $x \in X$ に対して、条件付き期待値 $\nu_{-}(x) = \mathbb{E}(\delta_{\psi_{-}(x)} \mid \mathcal{F}_{\geq 0})$ を構成する。
• 収縮の議論を用いる：$\exp(a_n)_* \nu_n \to \delta_{eP}$ ならば、任意の正根 $\chi$ に対して $\chi(a_n) \to \infty$ となる。
• 写像 $c: X \to G$ を構成し、$c(Tx)F(x)c(x)^{-1} \in A = \exp(\mathfrak{a})$ となるようにし、$c(x)\nu_{-}(x)$ が適切な測度のままであることを保証する。
• カクタニの誘導法を用いて、正の測度の帰還時間を持つ部分系 $(X^*, m^*, T^*)$ に移行し、リャプノフスペクトルがスケーリングを除いて保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界作用の等長的エルゴディシティが群表現の剛性を示唆するか？
• RQ2 可測コサイクルのリャプノフスペクトルが単純である条件は何か？
• RQ3 境界理論は、非コンパクトまたは非可換的構造を持つ非p.m.p.力学系を分析するためにどのように利用できるか？
• RQ4 ザリスキ・ドレアがリャプノフ指数のスペクトル単純性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 測度の $G/P$ 上での収縮は、エルゴディック理論における定量的成長推定にどのように応用できるか？

主な発見

• 可測コサイクル $F: X \to G$ のリャプノフスペクトル $\Lambda$ は、$G/P$ 上の関連測度 $\nu_{-}(x)$ が適切であり、かつ $F(T^{-n}x)\cdots F(T^{-1}x)_{*}\nu_{-}(T^{-n}x) \to \delta_{eP}$ である限り単純である。
• 誘導系 $(X^*, m^*, T^*)$ に対して、リャプノフスペクトル $\Lambda^*$ は元の $\Lambda$ に比例し、$\Lambda^* = \frac{1}{m(X^*)} \cdot \Lambda$ である。
• $\rho(\Gamma)$ が $G$ においてザリスキ・ドレアであれば、$\Gamma$-不変測度の仮定がなくてもリャプノフスペクトルは単純である。
• 可測 $\Gamma$-写像 $\psi_{\bowtie}: X \to G/A'$ が存在し、$G/P$ への射影がコサイクルの一貫した境界データを保証する。
• $\psi_{-}$ は、境界 $B_-$ から $G/P$ への $\Gamma$-写像の引き戻しとして構成され、$\psi_{-}(x) = \text{pr}_1(\psi_{\bowtie}(x))$ を満たす。
• ほとんど everywhere での $x$ に対して、条件付き測度 $\nu_{-}(x)$ は適切である。これは、正根 $\chi$ 全体に対して $\chi(\Lambda)$ の正の性質を示す収縮議論にとって不可欠である。