[論文レビュー] Boundary action of automaton groups without singular points and Wang tilings

Daniele D’Angeli, Thibault Godin+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Cellular Automata and Applications参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特異点（境界上の安定化写像が連続でない点）をもたない自己機械群を調査し、収縮自己機械と双逆可逆構造を用いたその群の特徴付けを提示する。特異点の非存在とカオス的 Wangタイル張り込みとの深い関連を、可換対とヘリックスグラフを通じて確立し、非自明な可換対をもたない初等的でない自己機械群が、非周期的タイル張り込みをもたらすことを証明する。

ABSTRACT

We study automaton groups without singular points, that is, points in the boundary for which the map that associates to each point its stabilizer, is not continuous. This is motivated by the problem of finding examples of infinite bireversible automaton groups with all trivial stabilizers in the boundary, raised by Grigorchuk and Savchuk. We show that, in general, the set of singular points has measure zero. Then we focus our attention on several classes of automata. We characterize those contracting automata generating groups without singular points, and apply this characterization to the Basilica group. We prove that potential examples of reversible automata generating infinite groups without singular points are necessarily bireversible. Then we provide some necessary conditions for such examples to exist, and study some dynamical properties of their Schreier graphs in the boundary. Finally we relate some of those automata with aperiodic tilings of the discrete plane via Wang tilings. This has a series of consequences from the algorithmic and dynamical points of view, and is related to a problem of Gromov regarding the searching for examples of CAT(0) complexes whose fundamental groups are not hyperbolic and contain no subgroup isomorphic to $\mathbb{Z}^{2}$.

研究の動機と目的

• Grigorchuk と Savchuk が提起した、境界上で安定化写像が自明である無限の双逆可逆自己機械群の存在に関する未解決問題に取り組む。
• 特に収縮的および双逆可逆クラスにおいて、特異点をもたない自己機械群の特徴付けを行う。
• 可換対とヘリックスグラフを通じて、特異点の非存在と非周期的 Wang タイル張り込みとの関連を確立する。
• 境界におけるシュライエル図の力学的性質と群作用との関係を調査する。
• 特に非初等的可換対の文脈において、このような群の決定可能性と構造的制約を探索する。

提案手法

• 自己機械群の境界作用を用い、安定化写像の連続性を分析することで特異点を定義する。
• ヘリックスグラフの概念を適用し、特異点の問題を非初等的可換語対の存在に還元する。
• 特異点の不在を特徴付けるために、強特異的および本質的特異的ヘリックスグラフの概念を導入する。
• 双対自己機械構成を用いて、自己機械群と Wang タイルセットとの対応関係を確立する。特に M ⊔ M⁻¹ に注目する。
• 収縮的状況における安定自己機械の特徴付けに、B"uchi 自動機と言語理論の結果を活用する。
• Kari-Papasoglu タイル張り込み枠組みを用い、周期的と非周期的タイル張り込みが可換対の存在と関係することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収縮的自己機械によって生成される自己機械群が特異点を持たない条件は何か？
• RQ2 特異点を持たない双逆可逆自己機械群は存在可能であり、どのような構造的制約を満たすべきか？
• RQ3 非初等的可換対と非周期的 Wang タイル張り込みの存在との関係は何か？
• RQ4 与えられた Mealy 自動機に対して、特異点の存在が決定可能か？
• RQ5 異なる点であっても、特異点のシュライエル図が同型であることはあり得るか？

主な発見

• 任意の自己機械群の境界における特異点集合は、測度ゼロをもつ。
• 双逆可逆自己機械群では、特異点はちょうど非自明な安定化群をもつ点と一致し、このような群が本質的に自由に作用することを確認する。
• 収縮的状況では、特異点を持たない自己機械群は、安定自己機械を生成する群として特徴付けられ、安定語の言語は B"uchi 自動機によって認識可能である。
• バシリカ群が特異点を持たないことが示され、ハノイの塔群とは対照的である。
• 非初等的可換対 u ∈ (Q ∖ {e})*, v ∈ Σ* の存在は、Kari-Papasoglu 型の周期的タイル張り込みの存在と同値である。
• M ⊔ M⁻¹ から導かれるタイルセットが非周期的タイル張り込みを許容するための必要十分条件は、対応する自己機械が非初等的可換対をもたず、かつ初等的でないことである。これは定理 6.16 を用いて完全な特徴付けがなされた。