[論文レビュー] Boundary behavior of multi-type continuous-state branching processes with immigration

Martin Friesen, Peng Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多型連続状態ブランチング過程に移民を含む（CBI過程）場合に、非消滅および非再訪を保証する十分条件を、多変数問題を1次元比較に還元することで確立している。パスワイズカップリングと1次元CBI過程との比較を用い、非消滅を確実に保証し、特定の成長条件のもとで非再訪を示すために、移民および分岐機構における可積分性条件を導出している。

ABSTRACT

In this article we provide a sufficient condition for a continuous-state branching process with immigration (CBI process) to not hit its boundary, i.e. for non-extinction. Our result applies to arbitrary dimension $d \geq 1$ and is formulated in terms of an integrability condition for its immigration and branching mechanisms $F$ and $R$. The proof is based on a suitable comparison with one-dimensional CBI processes and an existing result for one-dimensional CBI processes. The same technique is also used to provide a sufficient condition for transience of multi-type CBI processes.

研究の動機と目的

• 多型CBI過程が境界（つまり絶滅）に到達しない、十分条件を特定すること。
• 既存の1次元的な非消滅および非再訪に関する結果を、多変数設定に拡張すること。
• パスワイズカップリングおよび比較技術を用いて、多型CBI過程の長期的挙動を分析すること。
• 非消滅および非再訪を保証する移民および分岐機構における可積分性条件を提供すること。

提案手法

• 2つのCBI過程XおよびY間のパスワイズカップリング構成を用いて、それらのパスを比較すること。
• カップリング論法を用いて、d次元問題を1次元CBI過程との比較に還元すること。
• 生成子と伊藤の公式に基づく比較原理を適用し、差過程∆k(t) = Yk(t) − Xk(t) を制御すること。
• 生成子の項R1からR5の推定を用いて、差過程の期待値成長に対する上限を導出すること。
• グロワンッールの補題を適用し、差過程の正の部分の期待値が消えることを示し、これによりXk(t) ≤ Yk(t)がほとんど確実に成立することを導出すること。
• 既知の1次元CBI過程の結果（例：[FUB14a, 系6]）を用いて、多型ケースにおける非消滅および非再訪を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移民および分岐機構にどのような条件下で、多型CBI過程が絶滅を避けることができるか。
• RQ2 d次元CBI過程の非消滅挙動は、1次元結果からどのように導出可能か。
• RQ3 機構FおよびRにどのような可積分性条件が、過程の非再訪性を保証するか。
• RQ4 2つのCBI過程間のパスワイズ比較は、サンプルパスの優越性を示し、それによって非消滅を示すために利用可能か。

主な発見

• 多型CBI過程の非消滅の十分条件は、移民および分岐機構FおよびRにおける可積分性条件であり、特にF(k)(u)/R(k)(u)の無限大近傍における成長率を含む。
• 機構が∫κ^∞ exp(∫κ^ξ F(k)(u)/R(k)(u) du) / R(k)(ξ) dξ = ∞を満たすようなκ > 0が存在する場合、過程は境界（つまり0）に到達せず、ほとんど確実に正のままである。
• 同じ可積分性条件のもとで、過程の非再訪性が確立され、過程がほとんど確実に無限大に発散することを示している。
• 証明技法は、パスワイズカップリングと1次元CBI過程との比較に依拠しており、1次元ケースにおける既知の結果を活用している。
• 比較原理により、支配的過程Yk(t)が正でありかつ無限大に発散するならば、元の過程Xk(t)に対しても同様に成り立つ。
• 結果は任意の次元d ≥ 1に対して成り立ち、一般のリーヴィー駆動ダイナミクスを有する保存的CBI過程に適用可能である。