[論文レビュー] Boundary behavior of special cohomology classes arising from the Weil representation

Jens Funke, John J. Millson|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、符号 frac{(p,q)}{の正格な局所的に対称な空間に対する、ユニタリ群のWeil表現から生じる特別なコhomology類に関連するtheta級数の境界挙動を調査する。これらのtheta関数がBorel-Serreコンパクト化へ拡張可能であることを証明し、各面への制限がより小さな正格な群とより大きな係数系に対するtheta級数であることを示す。符号 frac{(p,p)}{の frac{\mathbb{Q}}{-}スプリットの場合、小規模なBorel-Serreコンパクト化は境界極限の非一意性により拡張を支持できない。代わりに「大きい」Borel-Serreコンパクト化が導入され、これにより境界制限が一意に定まり、有限被覆を用いることで特別な（コ）ホモロジー類の非消滅性が確立される。

ABSTRACT

In our previous paper [math.NT/0408050], we established a correspondence between vector-valued holomorphic Siegel modular forms and cohomology with local coefficients for local symmetric spaces $X$ attached to real orthogonal groups of type $(p,q)$. This correspondence is realized using theta functions associated to explicitly constructed "special" Schwartz forms. Furthermore, the theta functions give rise to generating series of certain "special cycles" in $X$ with coefficients. In this paper, we study the boundary behaviour of these theta functions in the non-compact case and show that the theta functions extend to the Borel-Sere compactification $\bar{X}$ of $X$. However, for the $\Q$-split case for signature $(p,p)$, we have to construct and consider a slightly larger compactification, the "big" Borel-Serre compactification. The restriction to each face of $\bar{X}$ is again a theta series as in [math.NT/0408050], now for a smaller orthogonal group and a larger coefficient system. As application we establish the cohomological nonvanishing of the special (co)cycles when passing to an appropriate finite cover of $X$. In particular, the (co)homology groups in question do not vanish.

研究の動機と目的

• 符号 frac{(p,q)}{の正格な群の非コンパクトな局所的に対称な空間上で、Weil表現から生じる特別なコホモロジー類に関連するtheta関数の境界挙動を理解すること。
• 符号 frac{(p,p)}{の frac{\mathbb{Q}}{-}スプリットの場合における、小規模なBorel-Serreコンパクト化へのこれらのtheta関数の拡張の障害を分析すること。この場合、境界極限は経路に依存する。
• 「大きい」Borel-Serreコンパクト化を構築し、それを用いて拡張問題を解決し、境界制限が一意に定まることを保証すること。
• 局所的に対称空間の適切な有限被覆に移行することで、特別なサイクルのコホモロジー的非消滅性を確立すること。
• 明示的なシュワーツ形式およびtheta分布を用いて、非自明な係数系 frac{\mathbb{S}_{[\lambda]}(V_{\mathbb{C}})}{への幾何学的theta対応の一般化を達成すること。

提案手法

• 著者たちはWeil表現を用いて、 frac{\mathcal{S}(V^{n}_{\mathbb{R}}) \otimes \mathbb{S}_{[\lambda]}(V_{\mathbb{C}})}{に値をとる frac{(\mathfrak{g},K)}{-}コサイクルを明示的に構成し、対称空間 frac{D}{に閉じた微分形式を生成する。
• 彼らは格子 frac{\mathcal{L} \subset V^n}{に対し、theta分布 frac{\Theta_{\mathcal{L}} = \sum_{\ell \in \mathcal{L}} \delta_\ell}{を定義し、これをコサイクルとペアリングすることで、 frac{\Gamma \backslash D}{に係数をとる閉じた frac{nq}{-形式 frac{\theta_{\varphi^{V}_{nq,[\lambda]}}}{を得る。
• 境界挙動は、対称空間がBorel-Serre境界に近づく際のtheta関数の漸近的極限を、特にパラボリック部分群に対応するコーナー付近で分析することで調べる。
• 符号 frac{(p,p)}{の frac{\mathbb{Q}}{-}スプリットの場合、 frac{\operatorname{SO}(p,p)}{では、小規模なBorel-Serreコンパクト化は境界極限が経路に依存するため、theta関数のwell-definedな制限を支持できない。この問題は、追加の frac{\mathbb{R}_+}{-因子を導入した「大きい」Borel-Serreコンパクト化によって解決される。
• コンパクト化の各面へのtheta関数の制限が、より小さな正格な群とより大きな係数系に対するtheta級数であることが示され、[12]の結果を一般化する。
• Poisson和公式および部分フーリエ変換を用いて、境界パrameterに依存する収束性と依存性を分析し、特に frac{\operatorname{SO}(2,2)}{の場合に、小規模なコンパクト化への非拡張性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜtheta関数 frac{\theta(\varphi_{2,0})}{は、 frac{\operatorname{SO}(2,2)}{の小規模なBorel-Serreコンパクト化へ拡張できないのか？
• RQ2 符号 frac{(p,p)}{の frac{\mathbb{Q}}{-}スプリットの場合に、theta関数の非拡張性を解消するために「大きい」Borel-Serreコンパクト化が果たす役割は何か？
• RQ3 コンパクト化の各面へのtheta関数の制限は、より小さな正格な群および修正された係数系に対するtheta級数とどのように関係しているか？
• RQ4 有限被覆への制限された特別なサイクル frac{Z_{T,[\lambda]}}{のコホモロジー的意義は何か？
• RQ5 theta関数の境界極限はアプローチ経路にどのように依存するのか？なぜその依存性が小規模なコンパクト化におけるwell-definednessの破綻を引き起こすのか？

主な発見

• 非コンパクトなタイプ frac{(p,q)}{の対称空間に対して、theta関数 frac{\theta_{\varphi^{V}_{nq,[\lambda]}}}{は、 frac{X}{のBorel-Serreコンパクト化 frac{\overline{X}}{へ拡張可能であり、各面への制限が一意に定まる。
• 符号 frac{(p,p)}{の frac{\mathbb{Q}}{-}スプリットの場合、小規模なBorel-Serreコンパクト化は、境界極限が経路に依存するため、theta関数のwell-definedな拡張を支持できない。特に、2次元トーラス frac{e'(P')}{に対応するコーナーで顕著である。
• 「大きい」Borel-Serreコンパクト化は、追加の frac{\mathbb{R}_+}{-因子を導入することで、境界極限をアプローチ経路に依存しないものにし、拡張問題を解決する。
• 「大きい」Borel-Serreコンパクト化の各面へのtheta関数の制限は、再びtheta級数であるが、今やより小さな正格な群とより大きな係数系に対して定義される。
• 特別なサイクル frac{[Z_{T,[\lambda]}]}{のコホモロジー的非消滅性は、 frac{X}{の適切な有限被覆に移行することで確立され、関連する（コ）ホモロジー群が消えないことを示す。
• 符号 frac{\operatorname{SO}(2,2)}{の場合、 frac{t_1, t_2 \to \infty}{の極限において frac{\theta(\varphi_{2,0})}{の値は frac{t_2}{に依存するが、これは境界トーラス上の座標ではないため、well-definednessが破綻し、小規模なコンパクト化への非拡張性を確認する。