[論文レビュー] Boundary behaviors and scalar curvature of compact manifolds

Yuguang Shi, Luen-Fai Tam|ArXiv.org|Nov 9, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、先行研究における暗黙的定義されたベクトル場の代わりに、境界の内在的幾何にのみ依存する明示的なベクトル場 $\Omega_{\Sigma_0} = (x_1,x_2,x_3,\alpha t)$ を導入することで、境界を持つコンパクト3次元多様体に関する剛性定理を確立する。積分 $\int_{\Sigma}(H_0 - H)\cosh(\kappa r)\,d\Sigma \geq 0$ が成り立ち、等号成立は多様体が双曲空間 $\mathbb{H}^3_{-\kappa^2}$ の領域である場合に限る。この結果は、初期の局所的質量に関する正値性結果を一般化し、ブラウン＝ヨークおよびリウ＝ヤウの質量枠組みを双曲的周囲幾何に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, by modifying the arguments in \cite{WY}, we get some rigidity theorems on compact manifolds with nonempty boundary. The results in this paper are similar with those in \cite{ST} and \cite{WY}. Like \cite{ST} and \cite{WY}, we still use quasi-spherical metrics introduced by \cite{Ba} to get monotonicity of some quantities.

研究の動機と目的

• ブラウン＝ヨークおよびリウ＝ヤウの局所的質量に関する剛性結果を、双曲的周囲幾何に一般化すること。
• 王＝楊の研究における暗黙的定義された未来向きベクトル場を、境界の内在的幾何にのみ依存する明示的ベクトル場 $\mathbf{W}_{\Sigma_0} = (x_1,x_2,x_3,\alpha t)$ で置き換えること。
• スカラー曲率および曲率の上限の下で、$\int_{\Sigma}(H_0 - H)\cosh(\kappa r)\,d\Sigma \geq 0$ を証明し、等号成立は多様体が $\mathbb{H}^3_{-\kappa^2}$ の領域である場合に限ることを示すこと。
• $\alpha = 1$ が許容される幾何的条件を調べ、関数 $f(p) = \int_{\Sigma_0}(H_0 - H)\cosh(\kappa r(p,y))\,d\Sigma_0(y)$ を解析すること。

提案手法

• 曲率制約の下で幾何的量の単調性を導くために、準球面計量の構成を用いる。
• Pogorelovの定理と $K > -\kappa^2$ の下での一意な凸埋め込みを用いて、$\Sigma$ を $\mathbb{H}^3_{-\kappa^2}$ に等長埋め込みする。
• 双曲空間 $\mathbb{H}^3_{-\kappa^2}$ を、座標 $(x_1,x_2,x_3,t)$ で $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - t^2 = -1/\kappa^2$, $t > 0$ を満たすミンコフスキー空間 $\mathbb{R}^{3,1}$ 上の双曲面として表現する。
• ベクトル場 $\mathbf{W}_{\Sigma_0} = (x_1,x_2,x_3,\alpha t)$ を定義し、$\alpha > 1$ を $\Sigma$ の内在的幾何に依存させる。これは、王＝楊のアプローチにおける放物型偏微分方程式に基づくベクトル場の代わりとなる。
• 双曲面モデルにおける位置ベクトルの表現を用いて、重み付き積分 $\int_{\Sigma}(H_0 - H)\cosh(\kappa r)\,d\Sigma$ を計算し、その非負性を証明する。
• 関数 $f(p) = \int_{\Sigma_0}(H_0 - H)\cosh(\kappa r(p,y))\,d\Sigma_0(y)$ を解析し、$\Delta f = 3\kappa^2 f$ を満たすことを示し、内部で局所的最大値を取るためには恒等的にゼロでなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 王＝楊の局所的質量枠組みにおける暗黙的定義された未来向きベクトル場を、明示的ベクトル場 $\mathbf{W}_{\Sigma_0} = (x_1,x_2,x_3,\alpha t)$ で置き換えることは可能か？
• RQ2 ベクトル場 $\mathbf{W}_{\Sigma_0}$ において $\alpha = 1$ を使用できる幾何的条件は何か？
• RQ3 双曲的領域の内部において、関数 $f(p) = \int_{\Sigma_0}(H_0 - H)\cosh(\kappa r(p,y))\,d\Sigma_0(y)$ がどのような性質を示すか？
• RQ4 不等式 $\int_{\Sigma}(H_0 - H)\cosh(\kappa r)\,d\Sigma \geq 0$ は鋭いものか？等号成立は $\Omega$ が $\mathbb{H}^3_{-\kappa^2}$ の領域である場合に限るか？
• RQ5 $\kappa \to 0$ の極限は、シとタムのユークリッド剛性結果をどのように回復するか？

主な発見

• 曲率 $K > -\kappa^2$、平均曲率 $H > 0$、スカラー曲率 $\mathcal{R} \geq -6\kappa^2$ を満たす境界付きコンパクト3次元多様体 $\Omega$ に対して、不等式 $\int_{\Sigma}(H_0 - H)\cosh(\kappa r)\,d\Sigma \geq 0$ が成り立ち、等号成立は $\Omega$ が $\mathbb{H}^3_{-\kappa^2}$ の領域である場合に限る。
• 境界の内在的幾何にのみ依存する $\alpha > 1$ のベクトル場 $\mathbf{W}_{\Sigma_0} = (x_1,x_2,x_3,\alpha t)$ は、王＝楊の結果における放物型偏微分方程式に基づくベクトル場の代わりとなり、明示的かつ幾何的に意味のある代替手段を提供する。
• 一定平均曲率をもつ標準球面に対しては、原点 $(0,0,0,1/\kappa)$ が $\Sigma_0$ 内部にある限り、$\mathbf{W}_{\Sigma_0} = (x_1,x_2,x_3,t)$、すなわち $\alpha = 1$ のとき、不等式 $m(\Omega,\zeta) \leq 0$ が成り立つ。
• 平均曲率 $H$ が $S^2$ の第一固有関数と直交するとき、中心が $(0,0,0,1/\kappa)$ にある geodesic ball の中心において、任意の未来向き光的ベクトル $\zeta$ に対して不等式 $m(\Omega,\zeta) \leq 0$ が $\alpha = 1$ のときにも成り立つ。
• 関数 $f(p) = \int_{\Sigma_0}(H_0 - H)\cosh(\kappa r(p,y))\,d\Sigma_0(y)$ は、内部領域 $D \subset \mathbb{H}^3_{-\kappa^2}$ で方程式 $\Delta f = 3\kappa^2 f$ を満たす。
• 関数 $f$ が $o = (0,0,0,1\kappa)$ で臨界点を持つならば、$i = 1,2,3$ に対して $\int_{\Sigma_0}(H_0 - H)\sinh(\kappa r)\phi_i\,d\Sigma_0 = 0$ が成り立つ。ここで $\phi_i$ は点 $y$ から $o$ への測地線の単位接ベクトルの成分である。