[論文レビュー] Boundary behaviour of RW's on planar graphs and convergence of LERW to chordal SLE$_2$

Kôhei Uchiyama|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般の条件下で、平面グラフ上のループ除去ランダムウォーク（LERW）が、境界の解析的性質を仮定せず、弦型SLE₂に収束することを示す。その鍵となるのは、従来の研究で必要とされていた解析的境界条件を不要にするハーモニック測度の推定であり、単純接続なグリッド領域において、境界の滑らかさに制限がない uniformly な収束を可能にする。

ABSTRACT

This paper concerns a random walk on a planar graph and presents certain estimates concerning the harmonic measures for the walk in a grid domain which estimates are useful for showing the convergence of a LERW (loop-erased random walk) to an SLE (stochastic Loewner evolution). We assume that the walk started at a fixed vertex of the graph satisfies the invariance principle as in Yadin and Yehudayoff [16] in which the convergence of LERW to a radial SLE is established in this setting. Our main concern is chordal case, where a random walk is started at a boundary vertex of a simply connected grid domain and conditioned to exit it through another boundary vertex specified in advance. The primary contribution of the present paper is an estimate, which states that the excursion of the conditioned walk leaves an intrinsic neighborhood of its initial point not 'along' the boundary but through an intrinsic interior of the domain with high probability. Based on this result we give a proof for the convergence to the chordal SLE, a result that has recently been proved by Suzuki [12] under an analyticity assumption on the boundary of the domain arising in the limit.

研究の動機と目的

• 平面グラフ上のループ除去ランダムウォーク（LERW）が最小限の仮定のもとで弦型SLE₂に収束することを確立すること。
• Suzuki（2016）らの先行研究で要求されていた領域境界の解析的性質の仮定を排除すること。
• グリッド領域におけるランダムウォークのエクスカージョンのハーモニック測度に対して一様な推定を与えること。特に、初期境界近傍から内部へと抜け出す確率が高くなることを示すこと。
• 一般のランダムウォークが不変性原理を満たす平面グラフ上でのループ除去パスの収束を、径方向SLE₂から弦型SLE₂へと拡張すること。
• LERWのドライブ関数の収束とLERWの時間反転対称性を用いて、ループ除去パスの弱収束を確認すること。

提案手法

• 単純接続なグリッド領域の境界付近にいる頂点から出発する条件付きランダムウォークが、初期点の内部的近傍から領域の内部へと高い確率で抜け出すことを示すハーモニック測度推定（命題4.6）を確立する。
• スケーリングされたランダムウォークのパスがブラウン運動に弱収束することを保証する不変性原理（仮定H）を用い、スケーリング極限における自己同型性を活用する。
• リーマン写像 φ: D → 𝔻 を用いたコンフォーマル写像技術を適用し、問題を単位円板に移行する。ここでは、境界の主成分 a, b ∈ ∂ₚₙ𝒹D に対し、弦型SLE₂が明確に定義される。
• 対称遷移確率（p(u,v) = p(v,u)）のもとでLERWが時間反転対称性を示すことを活用し、ループ除去パスの分布と時間反転エクスカージョンの分布を関連付ける。
• ShelefildとSunの結果（補題1.7）を適用し、ドライブ関数の収束が保証される限り、metric d*ₚ におけるループ除去パスの弱収束を導出する。
• ドメイン Dₙ/ρₙ → D のCarathéodory収束により、コンフォーマル写像 φₙ がコンパクト集合上で一様に収束することが保証され、極限が弦型SLE₂として特定可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフ上のループ除去ランダムウォークが、どのような条件下で弦型SLE₂に収束するか？
• RQ2 領域境界の解析的性質を仮定せず、LERWが弦型SLE₂に収束することを示せるか？
• RQ3 単純接続なグリッド領域の境界付近における条件付きランダムウォークのエクスカージョンのハーモニック測度は、どのように振る舞うか？
• RQ4 境界付近から出発するランダムウォークのエクスカージョンが、初期の内部的近傍から境界に沿ってではなく、内部へと抜け出す確率はどの程度か？
• RQ5 大規模なグリッド領域において、境界条件を満たす条件下で、LERWのドライブ関数の収束を一様に確立できるか？

主な発見

• 主たる貢献は、初期点の内部的近傍から領域内部へと高い確率で抜け出すことを示す鋭いハーモニック測度推定（命題4.6）である。
• Suzuki（2016）の結果で必要とされていた領域境界の解析的性質の仮定を排除することで、LERWの弦型SLE₂への収束をより広いクラスの領域へ一般化した。
• ループ除去パスは、単位円板内の連続曲線の空間におけるmetric d*ₚ で法則収束する。
• LERWのドライブ関数は弱収束し、これによりロエヴェナー鎖の収束が示される。
• 収束は不変性原理（仮定H）および遷移確率の対称性のもとで成り立ち、ρₙ → ∞ のとき領域サイズに一様に成立する。
• 証明は、LERWの時間反転対称性に依拠しており、条件付き測度下でのLE(Γ⁻)の分布が、時間反転測度下でのLE(Γ)の分布と一致することを活用し、双対性の議論が可能になる。