[論文レビュー] Boundary Conformal Field Theory and Entanglement Entropy in Two-Dimensional Quantum Lifshitz Critical Point

Oshikawa Masaki|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2010

Quantum many-body systems参考文献 2被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、2次元量子Lifshitz臨界点におけるエンタングルメントエントロピーの普遍定数項の不一致を、再びレプリカ法と境界 conformal field theory (CFT) のアプローチを検討することで解消する。標準的な「基底変換」技法に、コンパクト化された多成分ボソンに対して誤りがあることが特定され、新しい場が独立にコンパクト化されていないことが示された。コンパクト化格子に基づく幾何的定式化を用いて、正しい境界エントロピーを導出し、他の計算と正確に一致させることで、自由ボソンCFTにおけるエンタングルメントエントロピーの定数項の普遍性を確立した。

ABSTRACT

I discuss the von Neumann entanglement entropy in two-dimensional quantum Lifshitz criical point, namely in Rokhsar-Kivelson type critical wavefunctions. I follow the approach proposed by B. Hsu et al. [Phys. Rev. B 79, 115421 (2009)], but point out a subtle problem concerning compactification of replica boson fields: although one can define a set of new boson fields by linear combinations of the original fields, the new fields are not compactified independently. In order to systematically study boundary conformal field theory of multicomponent free bosons, I employ a geometric formulation based on compactification lattices. The result from the boundary conformal field theory agrees exactly with alternative calculations by J.-M. Stephan et al. [Phys. Rev. B 80, 184421 (2009)], confirming its universality as argued originally by B. Hsu et al.

研究の動機と目的

• 2次元量子Lifshitz臨界点におけるエンタングルメントエントロピーの普遍定数項について、2つの計算結果の不一致を解消すること。
• 従来の境界CFTによるエンタングルメントエントロピーの導出で用いられる標準的な「基底変換」技法に潜む微妙な誤りを特定・是正すること。
• コンパクト化格子に基づく幾何的定式化を用いて、多成分自由ボソンの境界 conformal field theory を体系的に分析すること。
• Hsuらの主張に従い、普遍定数項の普遍性を、格子に基づく手法を用いて一貫して導出することで確認すること。

提案手法

• コンパクト化格子に基づく境界CFTの幾何的定式化を用いて、多成分自由ボソン系を記述する。
• 多次元のポisson和公式を用いて、異なる基底における分配関数を関連づけ、Cardyの整合性条件を満たすようにする。
• Ishibashi状態と巻き戻り/ゼロモード射影を用いて境界状態（Dirichlet、Neumann、混合）を定義し、係数は整合性条件によって決定する。
• コンパクト化格子の体積 $ v_0(\bar{\theta}) $ を用いて、DirichletおよびNeumann境界条件における境界エントロピー $ g_D $ と $ g_N $ を導出する。
• ハミルトニアンおよびモジュラー不変性を満たすように保証するため、接続条件を用いて明示的な境界状態を構成する。
• 既知の結果と照合して導出された振幅を検証する。特に、Dirichlet-Neumann振幅 $ z_{ND}(\tilde{q}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{q}^{-1/24} \prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1 + \tilde{q}^n} $ がCardyの条件を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準的な基底変換技法が、多成分コンパクト化ボソンCFTにおけるエンタングルメントエントロピーを正しく記述できないのか？
• RQ2 独立にコンパクト化されていない多成分自由ボソンCFTに対して、正しい境界CFTの幾何的定式化は何か？
• RQ3 量子Lifshitz普遍性クラスにおけるエンタングルメントエントロピーの普遍定数項を一貫して導出するにはどうすればよいか？
• RQ4 格子幾何学を用いて導出された境界エントロピー $ g_D $ は、Stéphanらの別計算と一致するか？
• RQ5 Hsuらが主張するように、正しく導出された場合に、エンタングルメントエントロピーの普遍定数項は真に普遍的であるか？

主な発見

• 従来の研究で用いられた標準的な「基底変換」技法には欠陥があり、新しい場が独立にコンパクト化されていないため、普遍定数項の導出が無効である。
• Dirichlet境界条件における正しい境界エントロピーは、コンパクト化格子の幾何学から得られる $ g_D = (2g)^{-\mathcal{N}/4} (v_0(\Lambda))^{-1/2} $ である。
• Neumann境界エントロピーは $ g_N = \left(\frac{g}{2}\right)^{\mathcal{N}/4} (v_0(\Lambda))^{1/2} $ であり、双対性および格子定式化と整合的である。
• Dirichlet-Neumann振幅 $ z_{ND} $ はコンパクト化半径に依存せず、ヤコビのシータ関数を含む既知の式と一致する。
• 導出された境界エントロピー値はCardyの整合性条件を満たしており、幾何的格子アプローチの妥当性が確認された。
• エンタングルメントエントロピーの普遍定数項の最終的な結果は、Stéphanらの別計算と正確に一致し、その普遍性が確認された。