[論文レビュー] Boundary control of cascaded ODE-Heat equations under actuator saturation

Wen Kang, Emilia Fridman|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時変状態遅れと制御器飽和を有する級列 ODE-熱方程式系に対するバックステッピングに基づく境界制御則を提案する。遅延系へのバックステッピング法の拡張と、LMIs を用いたラプノフ＝クラソフスキー汎関数を用いることで、遅延に依存しない指数的安定性条件を導出し、制御器飽和制約下で保証された初期状態領域内におけるグローバル指数的安定性を示すための吸引域の推定値を計算する。

ABSTRACT

In this paper, we consider boundary stabilization for a cascade of ODE-heat system with state delay under actuator saturation. To stabilize the system, we design a state feedback controller via the backstepping method and find a bound on the domain of attraction. The latter bound is based on Lyapunov method, whereas the exponential stability of the delayed cascaded systems is proved by using Halanay's inequality. Numerical examples illustrate the efficiency of the method.

研究の動機と目的

• 制御器飽和と時変遅れ下における PDE-ODE カスケード系の境界制御手法の不足に対処すること。
• 状態遅れを有する系にバックステッピング法を拡張し、ボルテラ積分変換を用いて安定化を可能とすること。
• ハラナイの不等式とラプノフ法を用いて、遅延に依存しない安定性条件を導出すること。
• 制御器飽和制約下における閉ループ系の最大の吸引域を推定すること。
• 指数的安定性を保証する計算可能な初期状態領域内で制御器設計を可能とする LMI を用いた条件を提供すること。

提案手法

• ボルテッカ積分変換を用いて、遅れを有する元の ODE-熱方程式系を結合動的を有する目標系に写像する。
• バックステッピング法を、ODE および PDE 成分の両方に時変遅れを有する系に対しても拡張する。
• 目標系に対してラプノフ＝クラソフスキー汎関数を構築し、遅延に依存しない指数的安定性条件を導出する。
• 線形行列不等式（LMIs）を用いて、制御器飽和を尊重する状態フィードバック制御則を設計する。
• 吸引域を、指数収束を保証する初期状態集合のサイズを最大化するための LMIs を解くことで推定する。
• 有限差分スキームを用いた数値シミュレーションにより、特定の初期条件と遅延値を用いて手法の有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御器飽和下で時変状態遅れを有する級列 ODE-熱方程式系を安定化するために、バックステッピング法をどのように拡張できるか。
• RQ2 制御器飽和下で、閉ループ系が指数的安定性を保つ初期状態の最大集合は何か。
• RQ3 ラプノフ法とハラナイの不等式を用いて、このような系に対して遅延に依存しない安定性条件を導出可能か。
• RQ4 LMIs をどのように用いて、入力飽和を尊重しつつ指数的安定性を保証する境界制御則を設計できるか。
• RQ5 制御則設計パrameter と推定吸引域のサイズとの間にどのような関係があるか。

主な発見

• ディリクレ境界条件の場合は、吸引域の推定値として $\mathcal{X}_{u} = \{(X_0,u_0) \in W_1 : 1.34\max_{[-h,0]}|X_0|^2 + 2.24\max_{[-h,0]}\|u_0\|^2 \leq 1\}$ を得た。$h=0.4$ のとき、この集合内に初期状態が存在する限り指数的安定性が保証される。
• ノイマン境界条件の場合は、吸引域の推定値として $\mathcal{X}_{u} = \{(X_0,u_0) \in W_1 : 13.96\max_{[-h,0]}|X_0|^2 + 16.67\max_{[-h,0]}\|u_0\|^2 + 0.47\max_{[-h,0]}\|u_0'\|^2 \leq 1\}$ を得た。$h=0.4$ のとき、この領域内に初期状態が存在する限り安定性が確認された。
• 数値実験では、初期状態が推定吸引域内に存在する場合に限り、システムが安定化されたのに対し、領域外に初期状態が存在した場合には不安定化が観測された。
• ディリクレ境界条件では $\beta$ の最小値が 0.0739、ノイマン境界条件では 0.1176 であった。これは、吸引域に含まれる最大の楕円体に対応する。
• 数値結果により、制御器が制御器飽和下でも、計算された楕円体境界内に初期状態が存在する限り、指数的安定性を維持することが確認された。
• 本手法は、グローバルリプシッツ非線形性を有する非線形 ODE-熱方程式系や、観測器ベースの制御設計へも拡張可能である。