[論文レビュー] Boundary critical behaviour of two-dimensional random Potts models

Gábor Palágyi, Christophe Chatelain+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本研究は、モンテカルロシミュレーションおよび遷移行列技術を用いて、クエンチド・ディスオーダーを有する2次元ランダムq状態ポットス模型（3 ≤ q ≤ 8）の境界およびボリューム臨界行動を調査する。臨界指数βおよびβ₁、ならびにスケーリング次元β₁/νおよびβ/νがqとともに単調に増加することを確立し、 conformal field theoryの予測に従って磁化プロファイルおよびスピン相関の多分形スケーリングの強力な数値的証拠を提示し、不純物系における臨界定常状態での conformal 不変性の有効性を確認する。

ABSTRACT

Using extensive Monte Carlo simulations, transfer matrix techniques and conformal invariance, ferromagnetic random $q-$state Potts models for $3\\le q\\le 8$ are studied in the vicinity of the critical temperature. In particular the surface and bulk magnetization exponents $\\beta_1$ and β are found monotonically increasing with q. At the critical temperature, different moments (n) of the magnetization profiles are calculated which are all found to accurately follow predictions of conformal invariance. The critical correlation functions show multifractal behaviour, the decay exponents of the different moments both in the volume and at the surface, are $n-$dependent.

研究の動機と目的

• クエンチド・ディスオーダーを有する2次元ランダムq状態ポットス模型の表面臨界行動を調査し、ボリューム臨界性を越えて検討すること。
• モンテカルロシミュレーションを用いた臨界定常へのアプローチにより、表面磁化臨界指数β₁およびボリューム指数βを決定すること。
• 固定-自由境界条件を有するストリップ幾何における臨界磁化プロファイルを分析し、 conformal field theoryの予測に従ってスケーリング次元β₁/νおよびβ/νを抽出すること。
• 臨界定常状態における磁化プロファイルの平均モーメントおよびスピン-スピン相関関数における多分形スケーリングの有無を検証すること。
• 数値結果と conformal field theoryの予測を比較することにより、不純物系への conformal 不変性の適用可能性を検証すること。

提案手法

• 等確率で分配された結合J1 > J2を有する正方格子上のランダム・ボンド・ポットス模型にモンテカルロシミュレーションを適用した。
• 臨界性質の計算および臨界指数βおよびβ₁の推定のため、有限サイズスケーリングを用いた遷移行列技術を用いた。
• 自由および固定境界条件を有するストリップ幾何における磁化プロファイルを分析し、 conformal field theoryの予測に従ってスケーリング次元x₁ = β₁/νおよびxb = β/νを抽出した。
• 磁化プロファイルおよびスピン-スピン相関関数のn次のモーメントを計算し、多分形スケーリングの有無を検証し、結果を conformal スケーリング形式にフィッティングした。
• 有限サイズスケーリングおよび無限系サイズ（L → ∞）への外挿を適用し、スケーリング次元および臨界指数の信頼性の高い推定値を得た。
• 数値結果をqの1次および2次摂動理論と比較し、場理論的予測の妥当性を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クエンチド・ディスオーダーは2次元ランダムポットス模型の表面臨界行動にどのように影響を及ぼすか。また、表面指数β₁は純粋モデルと異なるか。
• RQ2 臨界指数βおよびβ₁はqとともに連続的に変化するか。3 ≤ q ≤ 8の範囲で単調に増加するか。
• RQ3 臨界定常状態における磁化プロファイルの平均モーメントおよびスピン-スピン相関関数の多分形スケーリングの程度はどの程度か。
• RQ4 n次のモーメントから導出されたスケーリング次元x(n)₆およびx(n)₁は、不純物系における conformal field theory の予測に従うか。
• RQ5 磁化プロファイルの conformal 表現は、唯一の振幅パラメータをフィッティングパrameterとして用いることで、数値的に妥当化できるか。

主な発見

• 表面磁化臨界指数β₁はqとともに単調に増加し、q=3では約0.37、q=8では0.42に達する。これはqの増加に伴い表面秩序が強化されることを示唆する。
• ボリューム臨界指数βもqとともに増加し、0.37から0.42に達する。また、すべてのq値で4β ≈ β₁の関係が概ね満たされている。
• ストリップ幾何における臨界定常磁化プロファイルから抽出されたスケーリング次元x₁ = β₁/νおよびxb = β/νは、 conformal field theoryの予測と整合的であることが判明した。
• 磁化プロファイルおよびスピン-スピン相関関数のn次のモーメントは、n依存のスケーリング次元x(n)₆およびx(n)₁を示し、 conformal 不変性と整合的なスケーリング行動を示した。
• q=3およびq=4のスケーリング次元の数値推定値は1次摂動理論と良好に一致したが、高次のモーメントではずれが生じ、n ≥ 3で摂動理論の破綻を示唆した。
• L→∞におけるq=8の外挿磁化プロファイルは、唯一の振幅パラメータをフィッティングパラメータとして用いることで、 conformal 表現と完全に一致した。これは、不純物系における臨界定常状態での conformal 不変性の強力な証拠を示している。