[論文レビュー] Boundary criticality via gauging finite subgroups: a case study on the clock model

Lei Su|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2023

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、(d+1)次元の量子場理論における非異常な0形式対称性の有限アーベル正規部分群をゲージ化することにより、非標準的な量子臨界点を生成するメカニズムを提案する。臨界点で部分群Γが完全に自発的対称性の破れを受ける場合、残りの対称性G/Γと双対(d−1)形式対称性Γ̂との間の混合't Hooft異常性により、d=1では脱コンfinement量子臨界点（DQCP）に、d≥2では対称性破れ相とトポロジカルに秩序された相の間の臨界点に理論が写像される。主な結果は、秩序パラメータおよび無秩序パラメータのスケーリング則がゲージ化によって保存されることであり、これにより非標準的臨界性の正確な特徴付けが可能になる。

ABSTRACT

Gauging a finite Abelian normal subgroup $Γ$ of a nonanomalous 0-form symmetry $G$ of a theory in $(d+1)$D spacetime can yield an unconventional critical point if the original theory has a continuous transition where $Γ$ is completely spontaneously broken and if $G$ is a nontrivial extension of $G/Γ$ by $Γ$. The gauged theory has symmetry $G/Γ imes \hatΓ^{(d-1)}$, where $\hatΓ^{(d-1)}$ is the $(d-1)$-form dual symmetry of $Γ$, and a 't Hooft anomaly between them. Thus it can be viewed as a boundary of a topological phase protected by $G/Γ imes \hatΓ^{(d-1)}$. The ordinary critical point, upon gauging, is mapped to a deconfined quantum critical point between two ordinary symmetry-breaking phases ($d =1$) or an unconventional quantum critical point between an ordinary symmetry-breaking phase and a topologically ordered phase ($d\ge 2$) associated with $G/Γ$ and $\hatΓ^{(d-1)}$, respectively. Order parameters and disorder parameters, before and after gauging, can be directly related. As a concrete example, we gauge the $\mathbb{Z}_2$ subgroup of $\mathbb{Z}_4$ symmetry of a 4-state clock model on a 1D lattice and a 2D square lattice. Since the symmetry of the clock model contains $D_8$, the dihedral group of order 8, we also analyze the anomaly structure which is similar to that in the compactified $SU(2)$ gauge theory with $θ=π$ in $(3+1)$D and its mixed gauge theory. The general case is also discussed.

研究の動機と目的

• 非異常な0形式対称性の有限アーベル正規部分群をゲージ化することによる、非標準的量子臨界点を生成する一般的メカニズムの確立。
• G/Γと双対(d−1)形式対称性Γ̂^(d−1)との間の混合't Hooft異常性が連続的相転移を強制する役割を明らかにすること。
• 秩序パラメータおよび無秩序パラメータのスケーリング則がゲージ化によって保存されることを示し、通常の臨界点から非標準的臨界点への正確な写像を可能にすること。
• 1次元および2次元格子におけるZ₂部分群のゲージ化を用いた4状態クロック模型の具体的な事例研究の提供。
• θ=πのコンパクト化されたSU(2)ゲージ理論とD₈二面体群対称性との関係を含めた、異常構造の分析。

提案手法

• 非異常な0形式対称性Gの有限アーベル正規部分群Γを、平坦なバックグラウンドゲージ場に結合させ、配置の和をとることでゲージ化を行う。
• Γの双対Γ̂^(d−1)を用いて、ゲージ化理論における(d−1)形式対称性を特定し、これはΓの双対として現れる。
• H²(G/Γ, Γ)における拡張類を分析し、ゲージ化理論がG/ΓとΓ̂^(d−1)の間の非自明な混合't Hooft異常性を示すかどうかを決定する。
• 元のG対称理論の秩序パラメータおよび無秩序パラメータを、ゲージ化理論のG/Γ × Γ̂^(d−1)対称性セクターに写像する。
• 具体的な格子模型として、1次元および2次元格子上の4状態および6状態クロック模型を構築し、このメカニズムを実現する。
• 代数的関係および対称性生成子（例：U₁ = ∏Sⱼ, U₂ = ∏τⱼ+1/2^z）を用いてZ₂およびZ₃対称性を分離し、gcd(q,n)=1のとき異常がないことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非異常な0形式対称性Gの有限アーベル正規部分群Γをゲージ化すると、どのような条件下で非標準的量子臨界点が生じるか？
• RQ2 H²(G/Γ, Γ)における非自明な拡張類が、G/Γと双対(d−1)形式対称性Γ̂^(d−1)との間の混合't Hooft異常性をどのように誘発するか？
• RQ3 Γの自発的対称性の破れが、ゲージ化によっても臨界点が脱コンfinement的またはトポロジカルな臨界点として存続することを保証する役割は何か？
• RQ4 秩序パラメータおよび無秩序パラメータのスケーリング則がゲージ化プロセスでどのように保存されるか、そして臨界行動の特徴付けにどのように利用できるか？
• RQ5 4状態クロック模型におけるD₈二面体群対称性の異常構造は何か？また、θ=πのコンパクト化されたSU(2)ゲージ理論とどのように関係するか？

主な発見

• 非異常な0形式対称性Gの有限アーベル正規部分群Γをゲージ化すると、G/Γ × Γ̂^(d−1)対称性を持つゲージ理論が得られ、ここでΓ̂^(d−1)はΓの(d−1)形式双対対称性である。
• GがG/ΓによるΓの非自明な拡張である場合、ゲージ理論はG/ΓとΓ̂^(d−1)の間の混合't Hooft異常性を示し、自明なギャップを持つ相を防ぐ。
• d=1では、臨界点は2つの対称性破れ相の間の脱コンfinement量子臨界点（DQCP）に写像される。
• d≥2では、臨界点は通常の対称性破れ相（G/Γに関連）とトポロジカルに秩序された相（Γ̂^(d−1)に関連）の間の非標準的量子臨界点に写像される。
• 元の理論における秩序パラメータおよび無秩序パラメータのスケーリング則は、ゲージ化理論に引き継がれ、臨界行動に関する正確な情報を提供する。
• 6状態クロック模型では、Sⱼおよびτⱼ+1/2^zへの基底の変更によりZ₂およびZ₃対称性が分離され、gcd(6,2)=2≠1のとき拡張が自明であることが示され、異常は生じない。