[論文レビュー] Boundary Degeneracy of Topological Order

Juven Wang, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2012

Topological Materials and Phenomena参考文献 1被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、トポロジカルに秩序された系のギャップを持つ境界に対して、境界デジェネラシーを新たなトポロジカル不変量として導入し、それがボリュームの基底状態デジェネラシー（GSD）よりも豊かな情報を含むことを示している。チェーン＝シモンズ理論を用いて、境界GSDの公式を導出し、その値がトポロジーと境界のギャップ条件（特に任意粒子の凝縮型）に依存することを明らかにした。これにより、アニュラスまたはシリンダー上での境界測定によって、$Z_2$ トーリックコードと $Z_2$ ダブル・セミオン模型の間で、もともとは同一視されていたトポロジカルオーダーを実験的に区別可能となる。

ABSTRACT

We introduce the concept of boundary degeneracy of topologically ordered states on a compact orientable spatial manifold with boundaries, and emphasize that the boundary degeneracy provides richer information than the bulk degeneracy. Beyond the bulk-edge correspondence, we find the ground state degeneracy of the fully gapped edge modes depends on boundary gapping conditions. By associating different types of boundary gapping conditions as different ways of particle or quasiparticle condensations on the boundary, we develop an analytic theory of gapped boundaries. By Chern-Simons theory, this allows us to derive the ground state degeneracy formula in terms of boundary gapping conditions, which encodes more than the fusion algebra of fractionalized quasiparticles. We apply our theory to Kitaev's toric code and Levin-Wen string-net models. We predict that the $Z_2$ toric code and $Z_2$ double-semion model (more generally, the $Z_k$ gauge theory and the $U(1)_k imes U(1)_{-k}$ non-chiral fractional quantum Hall state at even integer $k$) can be numerically and experimentally distinguished, by measuring their boundary degeneracy on an annulus or a cylinder.

研究の動機と目的

• ギャップを持つ境界を有するトポロジカルに秩序された系における境界基底状態デジェネラシー（GSD）を定義・特徴づけること。これはボリュームGSDとは異なる。
• 境界GSDがトポロジーおよび任意粒子の融合則に加え、特定の境界ギャップ条件に依存することを示すこと。これらの境界ギャップ条件はボリュームから一意に決定されない。
• チェーン＝シモンズ理論に基づく解析的枠組みを構築し、境界ギャップ条件の関数として境界GSDを計算すること。
• 境界GSDが、同一のボリュームGSDおよび融合則を持つトポロジカルオーダー（例：$Z_k$ ゲージ理論と $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ 非ホロノミックな分数量子ホール状態）を区別できることを示すこと。
• 境界GSDが、自発的トポロジカルオーダーや自明なオーダー（対称性保護トポロジカル相を含む）を分類するための洗練された観測量として機能することを提唱すること。

提案手法

• ボリュームにトポロジカルオーダーと完全にギャップを持つ境界モードを有する系の基底状態デジェネラシーとして境界GSDを形式化すること。
• K行列形式を用いたチェーン＝シモンズ場理論を用いて、境界ギャップ格子と粒子凝縮パターンの観点から、境界GSDの一般式を導出すること。
• 境界ギャップ格子 $\Gamma^{\partial_\alpha}$ の概念を導入し、K行列と粒子格子から導かれる $\Gamma^{\partial_\alpha}_{\text{cond}}$ との関係を示すこと。条件は $\Gamma^{\partial_\alpha} \subset \Gamma^{\partial_\alpha}_{\text{cond}}$ で与えられる。
• 境界の接合手続きを用いて、境界GSDとボリュームGSDの関係を導出し、トポロジカル接合によりボリュームGSDが境界GSDから再構成可能であることを示すこと。
• K行列の標準形（フェルミオン的：$\bigl{(}{\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&-1\end{smallmatrix}}\bigr{)}$ ブロック；ボソン的：$\bigl{(}{\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix}}\bigr{)}$ ブロック）を用いて、$|\det K|=1$ の下での境界ギャップ条件を分類すること。
• |$\det K|=1$ の場合、すべての自明な任意粒子（フェルミオンまたはボソン）がK行列モジュラー下で物理的に区別不能となり、境界ギャップ条件のタイプは $\mathcal{N}^\partial_g = 1$ のみとなることを特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボリュームとエッジモードの両方がギャップを持つトポロジカルに秩序された系の基底状態デジェネラシーは、境界ギャップ条件にどのように依存するか？
• RQ2 同一のボリュームGSDおよび融合則を持つトポロジカルオーダー（例：$Z_k$ ゲージ理論と $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ 非ホロノミックな分数量子ホール状態）を境界GSDが区別可能か？
• RQ3 境界における任意粒子の凝縮が境界GSDに果たす役割は何か？また、チェーン＝シモンズ理論ではどのように記述されるか？
• RQ4 境界GSDは、境界のトポロジカル接合によってボリュームGSDとどのように関係するか？
• RQ5 ボリューム-エッジ対応を超えた、境界ギャップ条件の異なるタイプは存在するか？また、$|\det K|=1$ のK行列理論に対して、その数はいくつあるか？

主な発見

• 境界GSDは、各境界からの寄与が独立に分解できないことを示しており、境界ギャップ条件間の非自明なもつれを示している。
• genus-$g$ のリーマン面に $\eta'$ 個の未接合境界がある場合、境界GSDは $|\det K|^g \cdot \left| \frac{L_{qp \cap e}}{\bigoplus_{\alpha'=1}^{\eta'} \Gamma^{\partial_{\alpha'}}} \right|$ で上限づけられる。ここで、比は境界上での有効な任意粒子凝縮を捉えている。
• $|\det K|=1$ の場合、すべての自明な任意粒子（フェルミオンまたはボソン）がK行列モジュラー下で物理的に区別不能となり、境界ギャップ条件のタイプは唯一 $\mathcal{N}^\partial_g = 1$ のみとなる。
• $Z_2$ トーリックコードと $Z_2$ ダブル・セミオン模型は、もともとはボリュームGSDや融合則では区別できなかったが、アニュラスまたはシリンダー上での境界GSD測定により、実験的に区別可能である。
• $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ 非ホロノミックな分数量子ホール状態（$k$ が偶数整数のとき）と $Z_k$ ゲージ理論は、同じ融合則とボリュームGSDを持つが、境界GSDの測定により区別可能である。
• 境界GSDは、自明なオーダーや対称性保護トポロジカル相（完全にギャップを持つエッジを有する）を分類する洗練された観測量を提供し、ボリュームGSDや対称性量子数では検出できない情報を得られる。