[論文レビュー] Boundary element method for normal non-adhesive and adhesive contacts of power-law graded elastic materials

Qiang Li, Valentin L. Popov|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Adhesion, Friction, and Surface Interactions参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、指数関数的勾配を示す弾性材料における法線接触力学の境界要素法（BEM）を提示する。非接着および接着接触の両方を扱う。空間的に変化する縦弾性係数を有する半無限体に対する基本解を拡張し、矩形グリッドと共役勾配反復法を用いて圧力下での変形を計算する。高速フーリエ変換（FFT）を用いた高速化により、計算を加速する。本手法により、Pohrt–Popovの離脱基準に基づく接着接触の高精度なシミュレーションが可能となり、解析解と高い数値精度で一致する。

ABSTRACT

Recently proposed formulation of the Boundary Element Method for adhesive contacts has been generalized for contacts of functionally graded materials with and without adhesion. First, proceeding from the fundamental solution for single force acting on the surface of a half space with a power-law varying elastic modulus, the deformation produced by constant pressure acting on a rectangular element was calculated and the influence matrix was obtained for a rectangular grid. The inverse problem for the calculation of required stress in contact area from a known surface deformation was solved by use of conjugate-gradient technique. For the transformation between the stresses and displacements, the Fast Fourier Transformation is used which drastically reduces the computation time. For the adhesive contact of graded material, the detachment criterion based on the method of Pohrt and Popov was proposed. A number of numerical test for the problem having exact analytical solution have been carried out confirming the correctness of underlying ideas and numerical implementation.

研究の動機と目的

• 指数関数的勾配を示す弾性率を有する機能的勾配材料に境界要素法を拡張すること。
• このような材料における非接着および接着接触問題をモデル化すること。
• 表面変位から応力再構成を行う逆問題を解くための効率的な数値スキームを開発すること。
• 勾配付き材料に適応したPohrt–Popov法に基づく接着接触基準を組み込むこと。
• ベンチマークケースに対して正確な解析解と照合することで、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 指数関数的勾配を示す弾性率を有する半無限体における点力に対する基本解を導出する。
• 基本解を用いて、矩形境界要素上に一定圧力を受ける場合の変形を計算する。
• 表面応力と変位の関係を記述する影響行列を、矩形グリッド上で構築する。
• 数値的安定性を確保するため、逆問題（変位から応力への再構成）を共役勾配法で解く。
• 境界要素法の式における行列・ベクトル積を高速化するために、高速フーリエ変換（FFT）を用いる。
• 勾配付き材料に適応したPohrt–Popov法に基づく離脱基準を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数関数的勾配を示す弾性率を有する材料における法線接触を扱えるように、境界要素法をどのように拡張できるか。
• RQ2 このような材料における逆接触問題を解くために、最も効率的な数値的手法は何か。
• RQ3 Pohrt–Popov法に基づく一貫性のある離脱基準を用いて、機能的勾配材料における接着接触をどのようにモデル化できるか。
• RQ4 提案されたBEM式は、解析解と比較して高い正確性を達成できるか。
• RQ5 勾配付き材料のBEM式において、FFTを用いることで計算効率にどの程度の向上が得られるか。

主な発見

• ベンチマーク接触問題について、BEM式が解析解を正確に再現しており、数値的実装の正しさが確認された。
• FFTの使用により、計算時間が顕著に短縮され、大規模接触問題の効率的解法が可能になった。
• 共役勾配法は、変位データから表面応力を再構成する不適切に定義された逆問題を効果的に解いた。
• Pohrt–Popov法に基づく離脱基準は、勾配付き材料における接着挙動を的確に捉えた。
• 非接着および接着接触の両状況において、本手法は高い数値的安定性と収束性を示した。
• 矩形要素用の影響行列は、基本解を用いて正確に計算され、今後のシミュレーションの基盤を形成した。