[論文レビュー] Boundary exponential stabilization of 1-D inhomogeneous quasilinear hyperbolic systems

Long Hu, Rafael Vázquez+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 14被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、1次元の非一様な準線形双曲型系に対するバックステッピングに基づく境界フィードバック制御設計を提示し、$H^2$ノルムにおいて局所的指数安定性を達成する。非線形ボルテラ変換を構築し、リャプノフ関数を用いることで、著者らはマルチ境界フィードバック制御器が、初期データが小さい場合に任意の指定された減衰率 $ olambda > 0$ に対して状態の指数的減衰を保証することを証明した。

ABSTRACT

This paper deals with the problem of boundary stabilization of first-order n imes n inhomogeneous quasilinear hyperbolic systems. A backstepping method is developed. The main result supplements the previous works on how to design multi-boundary feedback controllers to realize exponential stability of the original nonlinear system in the spatial H^2 sense.

研究の動機と目的

• $n \times n$非一様な準線形双曲型系の境界指数安定化に関する未解決問題を、$H^2$ノルムで解決すること。
• 任意の減衰率 $ olambda > 0$ を有する局所的指数安定性を保証するフィードバック制御則を設計すること。
• 既存のバックステッピング手法を線形系から準線形および非一様系に拡張し、マルチ境界制御を可能とすること。
• 非一様系において任意に大きな減衰率をもたらすリャプノフ関数を構築する困難を克服すること。
• 境界での$C^1$適合条件のもとで、適切に定義された問題と安定性を確立すること。

提案手法

• 元の系を所望の安定性特性を有する目標系に写像する非線形ボルテラバックステッピング変換を開発する。
• 目標系に対してリャプノフ関数を構築し、$H^2$ノルムにおける指数安定性を証明する。
• 変換が可逆であり、$H^2$まで正則性を保つように境界条件を課す。
• 変換のカーネル方程式から明示的なフィードバック則を導出し、非一様項を含む双曲型PDEの連立系を解く。
• エネルギー推定とソボレフ埋め込みを用いて、変換された変数のノルムを抑え、安定性を保証する。
• 流入・流出境界を有する系にバックステッピングフレームワークを適用し、マルチ境界制御入力を可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \times n$非一様な準線形双曲型系に対して、バックステッピングに基づくフィードバック制御則を設計し、$H^2$ノルムにおける指数安定性を達成できるか？
• RQ2 バックステッピング法は、PDE系における非一様項および非線形性をどのように扱えるか？
• RQ3 境界フィードバックを用いて、閉ループ系の任意の指数的減衰率 $ olambda > 0$ を達成できるか？
• RQ4 $H^2$設定において、バックステッピング変換の可逆性および正則性を保証する条件は何か？
• RQ5 境界での適合条件が、閉ループ系の適切に定義された問題と安定性にどのように影響するか？

主な発見

• マルチ境界フィードバック制御則が、閉ループ系の$H^2$ノルムにおける指数安定性を保証するように構築された。
• 適切な制御器設計により、減衰率 $ olambda > 0$ を任意に大きくできる。
• 初期データが原点の小さな近傍にある場合、解は空間 $C^0([0,\infty); (H^2(0,1))^n)$ において一意に存在する。
• バックステッピング変換が可逆であり、$H^2$関数を$H^2$関数に写像し、正則性を保つことが示された。
• 標準的なリャプノフ関数が非一様系では任意の大きな減衰率をもたらさないという制限を、本手法は効果的に克服した。
• 本結果は、従来のバックステッピング結果を線形系から準線形および非一様系に一般化し、より広範な双曲型PDEのクラスにフレームワークを拡張した。