[論文レビュー] Boundary F-maximization

Davide Gaiotto|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、3次元 conformal境界条件を伴う4次元 ${\cal N}=2$ 超共形場理論（SCFT）に対して、F-theoremおよびF-maximization原理の境界版を提案する。境界自由エネルギー $F_\partial$ を半球（$HS^4$）と4次元球（$S^4$）の分配関数の比から定義し、$F_\partial$ が境界のRGフローに沿って減少し、赤外領域のR対称性で最大値をとるとの予想を提示する。主な結果は、$F_\partial$ の最大化が正しい赤外R対称性を特定することであり、これは3次元のF-maximizationを境界および界面に一般化するものである。

ABSTRACT

We discuss a variant of the F-theorem and F-maximization principles which applies to (super)conformal boundary conditions of 4d (S)CFTs.

研究の動機と目的

• 3次元CFTにおけるF-theoremおよびF-maximization原理を、共形境界条件を伴う4次元SCFTへ拡張すること。
• 半球と4次元球の分配関数比を用いて境界自由エネルギー $F_\partial$ を定義すること。
• 境界RGフローに沿って $F_\partial$ が減少し、赤外領域のR対称性で最大値をとるとの予想を提示すること。
• 双対となる3次元理論を通じて、境界 $F_\partial$ の最大化と標準的な3次元 $F$-maximizationとの対応を確立すること。
• 弱い結合系の例（自由スカラーおよび境界に物質を有するアーベルゲージ理論など）で予想を検証すること。

提案手法

• 分配関数の絶対値の2乗の比 $|Z_{HS^4}|^2 / Z_{S^4}$ の対数を用いて $F_\partial$ を定義し、べき乗発散項を引き算することで有限な境界寄与を分離する。
• 局所化を用いて、${\cal N}=2$ 4次元SCFTにおける半BPS境界条件における $Z_{HS^4}$ と $Z_{S^4}$ を計算する。
• 境界R対称性を、ボリュームの $SU(2)_R$ と境界のフレーバー対称性の混合とみなし、パrameter $m$ でパrameter化する。
• 二つの4次元CFTの界面に一般化するため、二重化テクニックを適用する。
• 3次元のチャーン・サイモンズ項を介して境界分配関数を3次元の $S^3$ 分配関数に写像し、$F_\partial$ の最大化と3次元 $F$-maximizationとの関係を確立する。
• ディリクレおよびノイマン境界条件を伴う自由スカラー理論を解析し、スペクトルゼータ関数を用いて $F_\partial$ を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 ${\cal N}=2$ SCFTにおいて、境界自由エネルギー $F_\partial$ は境界のRGフローに沿って減少するか？
• RQ2 超共形境界条件の赤外領域R対称性は、$F_\partial$ を最大にするものか？
• RQ3 $F_\partial$ の最大化は、関連する3次元理論における標準的な $F$-maximization に写像可能か？
• RQ4 アーベルゲージ理論において、$F_\partial$ はS双対性の下でどのように変換するか？
• RQ5 ディリクレおよびノイマン境界条件を伴う自由な共形的に結合されたスカラーの $F_\partial$ の明示的な値は何か？

主な発見

• ディリクレ境界条件を伴う自由な共形的に結合されたスカラーに対しては、$F_\partial^D = -\frac{\zeta(3)}{16\pi^2} \approx -0.0076121$ であり、ノイマン条件では $F_\partial^N = -\frac{1}{2}F_\partial^D + \text{補正項}$ となる。これは境界RGフローに沿った減少を示している。
• $F_\partial$ はS双対変換に対して不変であり、半球分配関数が普遍的な $(-i\tau)^{1/2}$ 因子で変化するが、$F_\partial$ ではキャンセルされるため、物理的な整合性が確認された。
• 境界に物質を有するアーベルゲージ理論において、$F_\partial$ の最大化は正しい赤外領域R対称性を再現し、摂動論的に予想が確認された。
• 境界 $F_\partial$ は、チャーン・サイモンズ理論に結合された双対3次元理論の $F$-関数と等価であり、境界とボリュームの $F$-maximizationの間の直接的な関係を確立した。
• 非アーベル ${\cal N}=2$ SCFTでは、半球分配関数にボリュームの instanton 項および1ループ項が含まれ、$F_\partial$ が同様の単調性および最大化性を満たすと予想されるが、完全な評価は未解決のままである。