[論文レビュー] Boundary G/G theory and topological Poisson-Lie sigma model

Fernando Falceto, Krzysztof Gawędzki|ArXiv.org|Aug 27, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界 $G/G$ ゲージ化Wess-Zumino-Witten模型と、双対ポアソン=リー群 $G^*$ を標的とするトポロジカルなポアソン=リーσ模型との間で、共変な同値性を確立する。$G/G$ 理論の標的空間を制限し、境界項を組み込むことで、著者らはストリップ上の位相空間が $G$ のヘイゼンベルク双対に同型であることを示し、変形量子化を用いて量子群構造の古典的実現を達成する。

ABSTRACT

We study a boundary version of the gauged WZW model with a Poisson-Lie group G as the target. The Poisson-Lie structure of G is used to define the Wess-Zumino term of the action on surfaces with boundary. We clarify the relation of the model to the topological Poisson sigma model with the dual Poisson-Lie group G^* as the target and show that the phase space of the theory on a strip is essentially the Heisenberg double of G introduced by Semenov-Tian-Shansky

研究の動機と目的

• 境界付き曲面上における $G/G$ ゲージ化WZW模型とトポロジカルなポアソン=リーσ模型の間の古典的同値性の共変な定式化を確立すること。
• $G/G$ 理論における境界条件および標的空間の制限が、ポアソン=リーσ模型への同値性要請から自然に生じることを明確にすること。
• ストリップ上での理論の古典的位相空間を、ポアソン=リー群 $G$ のヘイゼンベルク双対のバージョンとして同定することにより、$T^*G$ の一般化を達成すること。
• 特に、境界状態の代数としての $\mathcal{U}_q(\mathfrak{g})$ の出現を含め、量子化に及ぼす影響を調査すること。

提案手法

• $G$ 及びその双対 $G^*$ におけるポアソン=リー群構造を用いて、境界付き曲面上の $G/G$ モデルにおけるWess-Zumino項を定義すること。
• $G$ 上の開部分集合への $G/G$ 標的空間の制限および $G^*$ の離散部分群による商をとることで、ポアソン=リーσ模型との正確な古典的同値性を達成すること。
• ヘイゼンベルク双対上のシンプレクティック形式を用いて、シリンダおよびストリップ上での正準構造を導出すること。$h = h_\pi h_0^{-1}$ および $p = h_0 \tau h_0^{-1}$ を用いた明示的パラメータ化を含む。
• 位相空間への変形量子化の適用により、境界状態の代数を $q$ が一般の値のとき $\mathcal{U}_q(\mathfrak{g})$ と特定し、$q$ が単位根のときには $\widetilde{\mathcal{U}}_q(\mathfrak{g})$ と特定すること。
• $\mathcal{H} = \mathcal{A}(G)$ と $\mathcal{H}^* = \prod_\lambda \text{End}(V_\lambda)$ の双対性を用いて、$T^*G$ 上の古典的関数を量子群構造に関連づけること。
• モジュラー行列を用いた非退化な双線形形式の構成により、有限次元商 $\widetilde{\mathcal{U}}_q(\mathfrak{g})$ に完全なトポロジカル量子場理論構造を導入すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き曲面上で $G/G$ ゲージ化WZW模型を、トポロジカルなポアソン=リーσ模型への同値性を保ちながら一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 ストリップ上での $G/G$ 理論の正確な古典的位相空間は何か？ そして、$G$ のヘイゼンベルク双対とはどのように関係するか？
• RQ3 境界理論の量子化は、どのようにして量子群代数 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{g})$ を生じるか？
• RQ4 トポロジカル性にもかかわらず、なぜ $G/G$ 理論のストリップ上では境界状態の無限次元空間が得られるのか？
• RQ5 量子境界代数が有限次元的かつユニタリとなる条件は何か？ これにより真のトポロジカル場理論が可能になるか？

主な発見

• ストリップ上での $G/G$ 理論の位相空間は、セメノフ=ティアン=シャンスキーが定義したポアソン=リー群 $G$ のヘイゼンベルク双対に同型であり、$T^*G$ のポアソン=リー一般化を提供する。
• 境界付き曲面上での $G/G$ モデルの古典的作用は、$G^*$ を標的とするトポロジカルなポアソン=リーσ模型への同値性を要求することで一意に固定され、$G^*$ の離散的商を除いては一意的である。
• 境界状態の代数は、一般の $q$ に対して $\mathcal{U}_q(\mathfrak{g})$ に同型であり、ヘイゼンベルク双対の変形量子化から生じ、自然な非可換代数構造を有する。
• $q$ が単位根（整数 $k$）のとき、境界状態の代数は有限次元商 $\widetilde{\mathcal{U}}_q(\mathfrak{g})$ に簡略化され、モジュラー行列を用いた非退化な双線形形式を備えるため、真のトポロジカル量子場理論が可能になる。
• ミンコフスキー符号では作用が実数でないため理論はユニタリでないが、$q$ が単位根の量子的状態ではこの問題が解消され、一貫したTQFTが得られる。
• 関数代数 $\mathcal{A}(G)$ の可換性と量子群表現の非可換代数 $\mathcal{H}^*_q = \prod_\lambda \text{End}(V^q_\lambda)$ の間の双対性は、量子化の下でも保存され、積と余積が入れ替わる。