[論文レビュー] Boundary Integral Formulation of the Cell-by-Cell Model of Cardiac Electrophysiology

Giacomo Rosilho de Souza, Rolf Krause+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2023

Advancements in Semiconductor Devices and Circuit Design参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、心筋電気生理学のセル・バイ・セル（EMI）モデルに対する境界積分式を提案する。この手法により、退化する放物型系が膜上での常微分方程式系に簡略化される。本手法は単一細胞において空間的に指数関数的収束を達成し、標準的手法と比較して自由度を大幅に削減した、複雑な組織幾何構造の高精度かつ効率的なシミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

We propose a boundary element method for the accurate solution of the cell-by-cell bidomain model of electrophysiology. The cell-by-cell model, also called Extracellular-Membrane-Intracellular (EMI) model, is a system of reaction-diffusion equations describing the evolution of the electric potential within each domain: intra- and extra-cellular space and the cellular membrane. The system is parabolic but degenerate because the time derivative is only in the membrane domain. In this work, we adopt a boundary-integral formulation for removing the degeneracy in the system and recast it to a parabolic equation on the membrane. The formulation is also numerically advantageous since the number of degrees of freedom is sensibly reduced compared to the original model. Specifically, we prove that the boundary-element discretization of the EMI model is equivalent to a system of ordinary differential equations, and we consider a time discretization based on the multirate explicit stabilized Runge-Kutta method. We numerically show that our scheme convergences exponentially in space for the single-cell case. We finally provide several numerical experiments of biological interest.

研究の動機と目的

• 膜上でのみ時間微分が存在するセル・バイ・セル（EMI）モデルにおける数学的退化を解消すること。
• 境界積分式を用いて膜境界に系を限定することで、大規模な心筋組織のシミュレーションにおける計算コストを低減すること。
• 長時間にわたる電気生理的ダイナミクスの高精度なシミュレーションを可能にする数値的効率の良いスキームの開発。
• 細胞幾何構造およびギャップジャンクション特性が、現実的な組織構成における伝導速度に与える影響を調査すること。
• 非線形ギャップジャンクションモデルへの拡張が可能な可能性を有する境界積分法を用いた3次元EMIシミュレーションの基盤を提供すること。

提案手法

• 細胞内および細胞外領域におけるラプラス方程式を排除するために、EMIモデルを境界積分方程式を用いて再定式化する。
• この手法により、全系が膜境界でのみ定義された微分代数方程式（DAE）に簡略化される。
• ギャップジャンクション条件を用いて代数的制約を除去することで、DAEが膜上での常微分方程式（ODE）系にさらに簡略化される。
• イオン動態に起因する剛性を扱えるよう、マルチレート明示的安定化ルンゲ＝クッタ法を時間積分に用いる。
• 空間離散化に境界要素法（BEM）を採用し、境界メッシュのみを必要とすることで自由度を顕著に削減する。
• 本手法は細胞幾何構造に依存せず、複数の接触を持つような任意の細胞配置に対しても適用可能である。

Figure 5 : Action potential propagation in an array of $2\times 20$ cells ( $t=2$\mathrm{ms}$$ ).

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界積分法を用いて、EMIモデルの退化放物型構造を膜上での非退化ODE系に変換できるか？
• RQ2 提案手法のBEM離散化が単一細胞EMI問題に対して示す空間収束速度はいかほどか？
• RQ3 特に長さと幅の変化が、EMIモデルにおける伝導速度に与える影響は？
• RQ4 EMIモデルは伝播不能を示すことがあるか？また、これは標準的な二相モデルとはどのように異なるか？
• RQ5 本手法は、複雑な細胞配置および現実的なギャップジャンクションダイナミクスを有する3次元EMIシミュレーションに拡張可能か？

主な発見

• 境界積分式により、EMIモデルの退化が効果的に除去され、自由度が著しく削減された膜上でのODE系に簡略化された。
• 単一細胞の場合、空間的指数的収束を示し、滑らかな解に対して高次の精度を持つことが確認された。
• 細胞面積が増加するにつれて伝導速度が上昇し、特に長さと幅を比例的にスケーリングした場合に顕著に向上した。
• 特定の幾何的および電気的条件下では、EMIモデルで伝播不能が観察されたが、これは標準的な二相モデルでは捉えられていない現象である。
• 膜上での空間分解能10 μmが十分な精度を示し、均質化された二相モデルで一般的に用いられる100–200 μmと比較して優れている。
• 本手法は3次元シミュレーションへの拡張が可能であり、非線形ギャップジャンクションモデルへの適応も可能であり、今後の病理的組織状態の研究に応用可能である。