[論文レビュー] Boundary layer separation and local behavior for the Steady Prandtl equation

Weiming Shen, Yue Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、悪圧力勾配下で、Oleíníkの初期データの広いクラスに対して、2次元定常Prandtl方程式の境界層剥離を確立する。重み付きエネルギー推定と漸近解析を用いて、Goldsteinの仮説である剥離点近傍での局所的挙動が正当化され、$π_y u(x,0) \sim (x^*-x)^{1/4}$ であり、異なる曲線に沿った剥離速度が異なることが特定され、長年の未解決問題であった剥離点近傍の局所的構造が解消された。

ABSTRACT

In the case of favorable pressure gradient, Oleinik proved the global existence of classical solution for the 2-D steady Prandtl equation for a class of positive data. In the case of adverse pressure gradient, an important physical phenomena is the boundary layer separation. In this paper, we prove the boundary layer separation for a large class of Oleinik's data and confirm Goldstein's hypothesis concerning the local behavior of the solution near the separation, which gives a partial answer to open problem 5 proposed by Oleinik and Samokin in \cite{Olei}.

研究の動機と目的

• OleíníkとSamołkinが提起した未解決問題5、すなわち境界層剥離点近傍における解の局所的構造を解消すること。
• 悪圧力勾配下で、Oleíníkのデータの広いクラスに対して、境界層剥離が有限時間内に発生することを証明すること。
• 剥離点近傍における解の局所的挙動、特に形式的展開における指数$a_2 = \frac{1}{2}$に関するGoldsteinの仮説を確認すること。
• $(x \to x^*$の極限において、$\partial_y u(x,0)$および$\partial_y u(x,y(x))$の正確な漸近的挙動を確立し、$\sim (x^*-x)^{1/4}$ であることを示すこと。

提案手法

• Prandtl方程式をより取り扱いやすい形に変換するため、Von Mises変換$w = u^2$を採用し、$w_x - \sqrt{w} \partial_\psi^2 w = -2 \frac{dp}{dx}$ を得る。
• 境界付近における$f = \partial_x w$ 及びその導関数の成長を制御するため、重み付きエネルギー推定と最大原理の議論を用いる。
• 修正版の補題5.2を用いて、$\partial_y^2 u$ の事前評価を確立し、$\partial_y^2 u_0 \leq \frac{dp}{dx}(0)$ および $\frac{d^2p}{dx^2} \geq 0$ を要求する。
• 剥離点$x^*$近傍で漸近解析を適用し、自己相似性を抽出するために、スケーリング$u_\lambda(x,y) = \lambda^{-1/2} u(x^* - \lambda x, \lambda^{1/4} y)$ を用いる。
• スケーリングされた関数族$u_\lambda$が$C^0(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+)$でコンパクトであることを証明し、極限プロファイルの存在を確認する。
• 平均値の定理と点単位収束の議論を用いて、$\sqrt{w} \partial_\psi f \to 0$ が$\psi \to 0$ のとき成り立つことを示し、極限における境界の正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 悪圧力勾配下で、Oleíníkのデータの広いクラスに対して、境界層剥離が有限時間内に発生するか？
• RQ2 $(x \to x^*$の極限において、$\partial_y u(x,0)$ の正確な局所的挙動は何か？ また、Goldsteinの仮説における指数$a_2 = \frac{1}{2}$ を満たすか？
• RQ3 異なる曲線に沿って剥離点に近づくとき、解はどのように振る舞い、異なる剥離速度が存在するか？
• RQ4 漸近展開$\partial_y u(x,0) \sim (x^*-x)^{1/4}$ は厳密に確立可能か？

主な発見

• 悪圧力勾配下で、Oleíníkのデータの広いクラスに対して、境界層剥離が有限時間内に発生することが確認され、物理的現象としての剥離が裏付けられた。
• 本稿はGoldsteinの仮説(3)を確認し、剥離点$x^*$近傍で$\partial_y u(x,0) \leq C(x^*-x)^{1/4}$ であることを示した。
• ある曲線$y(x)$が存在し、$\int_0^{y(x)} u(x,y') dy' \leq C(x^*-x)^{3/4}$ かつ $\partial_y u(x,y(x)) \sim (x^*-x)^{1/4}$ であることが示され、異なる経路に沿った異なる剥離速度が存在することが明らかになった。
• スケーリングされた解$u_\lambda(x,y) = \lambda^{-1/2} u(x^* - \lambda x, \lambda^{1/4} y)$ は$C^0(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+)$でコンパクトであるため、$x^*$近傍で自己相似的挙動を示すことが示された。
• DalibardとMasmoudiの先行研究を拡張し、剥離速度$\sim (x^*-x)^{1/4}$ がGoldsteinの仮定と整合的であり、かつ以前に知られていたものよりもより一般であることが示された。