[論文レビュー] Boundary singular solutions of a class of equations with mixed absorption-reaction

Bidaut-Veron, Marie-Fran\c{c}oise, Garcia-Huidobro, Marta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、$Ω$ もしくは $Ω = Ω_+^N$ における、混合吸収項と反応項を含む一様非線形楕円型方程式 $-Δ u + u^p - M|∇ u|^q = 0$ の孤立した境界特異性をもつ正の解を考察する。境界特異性の除去可能性をベッセル容量を用いて特定し、変数分離解と劣解法を用いて孤立特異性をもつ基本解を構成し、特に臨界閾値 $q = \frac{2p}{p+1}$ における $p$, $q$, $M$ の相違関係に応じた解の存在・一意性を示している。この臨界点において $M$ が解の挙動を決定づける。

ABSTRACT

We study properties of positive functions satisfying (E) --$\Delta$u + u p -- M |$ abla$u| q = 0 is a domain $\Omega$ or in R N + when p > 1 and 1 < q < min{p, 2}. We concentrate our research on the solutions of (E) vanishing on the boundary except at one point. This analysis depends on the existence of separable solutions in R N +. We consruct various types of positive solutions with an isolated singularity on the boundary. We also study conditions for the removability of compact boundary sets and the Dirichlet problem associated to (E) with a measure for boundary data.

研究の動機と目的

• 方程式 $-\Delta u + u^p - M|\nabla u|^q = 0$ の解における孤立境界特異性の存在、一意性、および除去可能性を解析すること。
• $∂Ω \setminus K$ で消える解に対して、コンパクトな境界集合 $K \subset \partial\Omega$ が除去可能となる条件を特定すること。
• 変数分離解と劣解技法を用いて、境界に孤立特異性をもつ基本解を構成すること。
• 臨界指数 $q = \frac{2p}{p+1}$ におけるパラメータ $M$ の役割を同定すること。ここでは吸収と反応のバランスが繊細である。
• 測度値境界データへの理論の拡張と、容量およびトレース理論の文脈における弱解の研究。

提案手法

• $u$, $\nabla u$ 及びその重み付きノルムの $L^p_\rho$ および $L^q_\rho$ 空間における可積分性を解析するため、事前推定および比較原理を用いる。
• スケーリング変換 $T_\ell[u](x) = \ell^{2/(p-1)}u(\ell x)$ を適用し、特に $q = \frac{2p}{p+1}$ において吸収と反応のスケーリング対称性が釣り合う臨界指数を同定する。
• ポisson核と径数的プロファイルを用い、 $w_m(x) = m|x|^{-\theta}P_B(x)$ で表される解を劣解として構成し、特異解の存在を証明する。ここで $\theta = \gamma + 1 - N$ である。
• ベッセル容量理論を用いて除去可能な境界集合を特徴づけ、特に $r \in (\frac{N+1}{N-1}, p)$ に対して $\text{cap}_{2/r,r'}^{\partial\Omega}(K) = 0$ の場合を扱う。
• 測度境界データ $\mu$ を持つ弱解を分布の意味で解析し、 $\zeta \in X(\Omega)$ に対して $\int_\Omega (-u\Delta\zeta + (|u|^{p-1}u - M|\nabla u|^q)\zeta)\,dx = -\int_{\partial\Omega} \frac{\partial\zeta}{\partial n}\,d\mu$ を満たすものとする。
• $\mathbb{R}^N_+$ および $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ における径数的分離解 $U(x) = A|x|^{-\alpha}$ を考察し、$A$ についての多項方程式を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\partial\Omega \setminus K$ で消える非負解に対して、コンパクトな境界集合 $K \subset \partial\Omega$ が除去可能となる条件は何か？
• RQ2 パラメータ $M$ は、境界点に孤立特異性をもつ正の解の存在および一意性にどのように影響するか？
• RQ3 一意的に構成可能な境界特異性をもつ基本解は存在するか？ また、特異点近傍での漸近的挙動は何か？
• RQ4 $M > 0$ のときを含め、$\mathbb{R}^N_+$ における方程式のすべての正の解に対して境界トレースが適切に定義されるか？
• RQ5 測度境界データをもつDirichlet問題の弱解は、$\Omega$ に最小限の幾何的仮定を課した場合でも一意的か？

主な発見

• $p > \frac{N+1}{N-1}$ かつ $q = \frac{2p}{p+1}$ のとき、$M < m^{**} = (p+1)\left(\frac{(N-1)p - (N+1)}{2p}\right)^{p/(p+1)}$ ならば、$\partial\Omega \setminus \{0\}$ で消える任意の非負解は恒等的にゼロでなければならない。
• $p = \frac{N+1}{N-1}$ かつ $1 < q < 1 + \frac{1}{N}$ のときも同様に、$\partial\Omega \setminus \{0\}$ で消える唯一の解は $u \equiv 0$ である。
• $1 < q < \frac{2p}{p+1}$ かつ $r \leq 3$ のとき、$K \subset \partial\Omega$ がベッセル容量 $\text{cap}_{2/r,r'}^{\partial\Omega}(K) = 0$ をもつならば、$\partial\Omega \setminus K$ で消える任意の解はゼロである。
• 臨界閾値 $q = \frac{2p}{p+1}$ は段階的転移を示す： $q < \frac{2p}{p+1}$ のとき吸収項が支配的で、解は $-\Delta u + u^p = 0$ の解に類似する。一方 $q > \frac{2p}{p+1}$ のとき反応項が支配的で、解は $u^p - M|\nabla u|^q = 0$ の分離解に類似する。
• $q = \frac{2p}{p+1}$ のとき $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ における径数的解について、$p < \frac{N}{N-2}$ ならば一意な正の解が存在する。一方 $p > \frac{N}{N-2}$ かつ $M > m^* = (p+1)\left(\frac{p(N-2) - N}{2p}\right)^{p/(p+1)}$ ならば、正の解が2つ存在する。
• 0 を中心とする球 $B$ において、$w_m(x) = m|x|^{-\theta}P_B(x)$ を構成し、$m$ が十分小さいとき $w_m$ が劣解であることを示した。この解を $\partial\Omega \setminus \{0\}$ でゼロに拡張することで、非負の劣解が得られ、比較原理により特異解の存在を証明した。