[論文レビュー] Boundary singularities of solutions to elliptic viscous Hamilton-Jacobi equations

Tai Nguyen Phuoc, Лаурент Верон|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、有界な $C^2$ 領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 内で定義された楕円型の粘性 Hamilton-Jacobi 方程式 $-\Delta u + g(|\nabla u|) = 0$ の解の境界特異性を調査する。非線形関数 $g(r) = r^q$ で $1 < q < 2$ の場合に、正の解の存在、一意性、境界跡の性質に注目する。主な貢献は、境界に局在する特異点の特徴付けと、解が有界な境界跡を持たないようになる臨界指数 $q_c = \frac{N+1}{N}$ の同定であり、超臨界領域では解の可解性に、Bessel 容量 $C^{2-q}_{q,q'}$ に関する絶対連続性が必要であることが示されている。

ABSTRACT

Journal of Functional Analysis 263 (2012) 1487-1538

研究の動機と目的

• 境界データが正の有界 Borel 測度 $\mu$ である Dirichlet 問題 $-\Delta u + g(|\nabla u|) = 0$ に対する正の解の存在と一意性を確立すること。
• 正の解の境界跡を、特異境界点の集合 $S(u)$ と $\partial\Omega$ の正則部分上の Radon 測度 $\mu$ からなるペア $(S(u), \mu)$ として定義・特徴付けること。
• 特に超臨界ケース $q \geq q_c = \frac{N+1}{N}$ において、境界における孤立特異点が消去可能である条件を特定すること。
• 非線形関数 $g(r) = r^q$ で $q_c \leq q < 2$ の場合に、解の可解性の必要十分条件を Bessel 容量 $C^{2-q}_{q,q'}$ を用いて同定すること。

提案手法

• テスト関数 $\zeta \in X(\Omega)$ を用いた弱形式化を導入し、$\Delta\zeta \in L^\infty(\Omega)$ を要請し、$g(|\nabla u|)$ と境界データ $\mu$ を含む積分恒等式により解を定義する。
• 解の最大解が有界測度に対して存在するための十分条件として、積分的下位臨界性条件 $\int_1^\infty g(s) s^{-(2N+1)/N} ds < \infty$ を確立する。
• 境界における解の挙動を解析し、可積分と非可積分の特異性を区別するために、境界 Harnack 不等式を適用する。
• 超臨界ケース $q \geq q_c$ における可解性の必要条件を、次元 $N-1$ の Bessel 容量 $C^{2-q}_{q,q'}$ を用いて特徴付ける。
• 滑らか化された測度と最大解 $u_\nu$ を用いた近似法により、境界データの弱収束に対する安定性を証明する。
• テスト関数 $\eta_n$ を用いた容量に基づく特異点消去基準を適用し、$\|\nabla \eta_n\|_{L^{q'}} \to 0$ となるように選ぶことで、容量がゼロである集合を越えて解が拡張可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方程式 $-\Delta u + g(|\nabla u|) = 0$ が、与えられた正の有界 Borel 測度 $\mu$ を境界データとして持つ正の解をもつための条件は何か？
• RQ2 正の解がペア $(S(u), \mu)$ として明確な境界跡を持つのはいつか？ そして、特異点集合 $S(u)$ はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 臨界指数 $q_c = \frac{N+1}{N}$ とは何か？ そして、境界特異性の観点から、下位臨界と超臨界の挙動を分ける役割は何か？
• RQ4 $q \geq q_c$ の場合、解の存在に必要な十分な境界測度 $\mu$ の条件は何か？ そして、Bessel 容量とどのように関係しているか？
• RQ5 どのコンパクト集合 $K \subset \Omega$ に対して、方程式 $-\Delta u + |\nabla u|^q = 0$ の解が $\Omega \setminus K$ で定義されていても、$K$ を通して滑らかに拡張可能か？

主な発見

• 非線形関数 $g(r) = r^q$ で $1 < q < q_c = \frac{N+1}{N}$ の場合、任意の正の外正則 Borel 測度 $\nu \not\equiv \infty$ は、正の解の境界跡として実現可能である。
• 非線形関数 $g(r) = r^q$ で $q_c \leq q < 2$ の場合、可解性のための必要条件として、境界測度 $\mu$ が次元 $N-1$ の Bessel 容量 $C^{2-q}_{q,q'}$ に関して絶対連続でなければならない。
• 集合 $S(u) = \{ x \in \partial\Omega \mid \int_{\Omega \cap U} g(|\nabla u|) d(x) dx = \infty \}$ は閉集合であり、解 $u$ は一意な境界跡 $\operatorname{tr}_{\partial\Omega}(u) = (S(u), \mu)$ を持つ。ここで $\mu$ は $\partial\Omega \setminus S(u)$ 上の正の Radon 測度である。
• $q = 2$ の場合、任意の正の有界測度 $\mu$ に対して問題は可解であり、孤立特異点が消去可能であるための必要十分条件は、特異点集合の $C^{1,2}$-容量がゼロであることである。
• $q = 1$ の場合、任意の正の解 $u$ は、有界な正の Borel 測度 $\mu$ を境界跡として持ち、同次性と一意性のため、非自明な孤立特異点は存在しない。
• $q \geq q^* = \frac{N}{N-1}$ の場合、コンパクト集合 $K \subset \Omega$ が、方程式 $-\Delta u + |\nabla u|^q = 0$ の解を $\Omega \setminus K$ で定義したとき、$K$ を通して解が滑らかに拡張可能であるための必要十分条件は $C^{1,q'}(K) = 0$ であることである。