[論文レビュー] Boundary stabilization of quasilinear hyperbolic systems of balance laws: Exponential decay for small source terms

Martin Gugat, Vincent Perrollaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 29被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、小規模な源項 $\epsilon f, \epsilon g$ を伴う準線形双曲型バランス法則系に対して、初期データの整合性条件を回避するための動的境界条件を用いて、$\ln(\epsilon^{-1})$ に比例する減衰率を有する指数的安定性を確立する。主な結果は、有限時間安定性が失われても、小さな摂動に対して堅牢な指数的収束が保たれることを示している。

ABSTRACT

We investigate the long-time behavior of solutions of quasilinear hyperbolic systems with transparent boundary conditions when small source terms are incorporated in the system. Even if the finite-time stability of the system is not preserved, it is shown here that an exponential convergence towards the steady state still holds with a decay rate which is proportional to the logarithm of the amplitude of the source term. The result is stated for a system with dynamical boundary conditions in order to deal with initial data that are free of any compatibility condition.

研究の動機と目的

• 有限時間安定性が失われる場合に、小規模な源項を伴う準線形双曲型系の長時間挙動を調査すること。
• 源項が導入された場合に、指数的安定性が小さな摂動のもとでも保持されるかどうかを特定すること。
• $2\times2$ 準線形双曲型系が対角形で表される場合に、定常状態への指数的収束を、$\ln(\epsilon^{-1})$ に比例する減衰率で確立すること。
• 同次境界条件の代わりに動的境界条件を用いることで、初期データに対する整合性条件を除去すること。
• 線形系における堅牢性結果を、小規模な源項を伴う準線形双曲型系へと拡張すること。

提案手法

• 初期データに整合性条件が不要となるように、動的境界条件を用いることで一般の初期データの解析を可能にする。
• ダムエルの公式に基づく重み付き空間における固定点法を用いて、線形摂動系の減衰推定を導出する。
• 作用素論的手法を用いて、小規模な摂動を伴う線形系の指数的安定性を証明し、減衰率 $\sim \ln(\epsilon^{-1})$ を示す。
• リプシッツ空間における事前推定と収束議論を用いて、線形結果を準線形系へと拡張する。
• 特性曲線法と弱形式化技術を用いて、強解の存在と一意性を確立する。
• コンパクトネス（アスコリ＝アルツェラ）と弱-*収束を用いて、近似解列の極限を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模な源項が有限時間安定性を破る場合に、準線形双曲型系において指数的安定性が保持されるか。
• RQ2 系が小規模な源項によって摂動された場合、解の平衡状態への減衰率は何か。
• RQ3 動的境界条件が同次境界条件に代わって、整合性条件を要しない一般の初期データを許容できるか。
• RQ4 摂動系の減衰率が、線形系と同様に $\ln(\epsilon^{-1})$ に比例するか。
• RQ5 線形系から準線形双曲型系へと、小さな摂動における有限時間安定性の堅牢性を拡張できるか。

主な発見

• 十分に小さい $\epsilon > 0$ に対して、動的境界条件を伴う線形系 $\partial_t u + c\partial_x u = \epsilon v$, $\partial_t v - c\partial_x v = \epsilon u$ の解は、$\ln(\epsilon^{-1})$ に比例する減衰率で指数的にゼロに収束する。
• 任意の $\kappa > c/L$ に対して、減衰率が $\kappa \ln(\epsilon^{-1})$ で下から抑えられることから、対数的依存性の鋭さが示される。
• 小規模な源項 $\epsilon f(u,v), \epsilon g(u,v)$ を伴う準線形系では、$\epsilon$ が十分に小さいとき、解は定常状態へ指数的に収束し、減衰率は $\ln(\epsilon^{-1})$ に比例する。
• 初期データが定常状態に十分近い場合に限り、動的境界条件のおかげで整合性条件を要しない。
• 解は $\mathrm{Lip}([0,T]\times[0,L])$ にあり、$\|y\|_\infty$, $\|\partial_x y\|_\infty$, および $\|\partial_t y\|_\infty$ について、データノルムの関数として一様有界性が保証される。
• 弱-*収束とコンパクトネスを用いて $\mathcal{C}^0$ 内での近似解の収束を確立し、極限が極限系の唯一の弱解であることを保証する。