[論文レビュー] Boundary terms of conformal anomaly

Sergey N. Solodukhin|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Oct 15, 2015

Elasticity and Material Modeling被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、タイプBの共形異常（ウェイリータンソルの多項式）が境界を持つ多様体上で適切な変分原理を保証するため、ギブンズ＝ホーキング型の境界項を必要とすることを提案する。著者らは4次元および6次元における明示的な境界項を導出し、これらの項が一貫性に不可欠であり、奇数次元における統合された異常が境界寄与によるもので非ゼロであることを示している。

ABSTRACT

We analyze the structure of the boundary terms in the conformal anomaly integrated over a manifold with boundaries. We suggest that the anomalies of type B, polynomial in the Weyl tensor, are accompanied with the respective boundary terms of the Gibbons-Hawking type. Their form is dictated by the requirement that they produce a variation which compensates the normal derivatives of the metric variation on the boundary in order to have a well-defined variational procedure. This suggestion agrees with recent findings in four dimensions for free fields of various spin. We generalize this consideration to six dimensions and derive explicitly the respective boundary terms. We point out that the integrated conformal anomaly in odd dimensions is non-vanishing due to the boundary terms. These terms are specified in three and five dimensions.

研究の動機と目的

• 境界を持つ多様体上での共形異常の変分原理の不整合を解消するため、適切な境界項を同定すること。
• ウェイリータンソルとその微分から構成されるタイプB共形異常が、アインシュタイン＝ヒルベルト作用のギブンズ＝ホーキング項と類似した境界項を必要とすることを確立すること。
• 4次元の既知の結果を一般化し、6次元におけるこれらの境界項の明示的表現を導出すること。
• 奇数次元における統合共形異常が境界寄与（特にトレースレスの外在的曲率を含む）によって非ゼロであることを示すこと。
• 共形不変量から構成される $ \hat{K}_{\mu\nu} $ に関連する境界荷 $ c_n $ の物理的および幾何的意味を明確にすること、特にCFT相関関数との関係を含む。

提案手法

• [3] の補助場法を適応し、ウェイリータンソル不変量をリーマンテンソルの線形汎関数として再表現することで、境界項の体系的導出を可能にする。
• 一般境界項の公式 $ I_{\text{boundary}} = -\int_{\partial\mathcal{M}} U^{\alpha\beta\mu\nu} P^{(0)}_{\alpha\beta\mu\nu} $ を適用し、ここで $ P^{(0)} $ は外在的曲率と法ベクトルに依存する。
• ウェイリースケーリング下での一様変換性を保つために、外在的曲率のトレースレス部分 $ \hat{K}_{\mu\nu} = K_{\mu\nu} - \frac{1}{d-1} \gamma_{\mu\nu} K $ への射影を施すことで、共形不変性を強制する。
• 自由場計算（例えば、スカラー場およびスピン場に対するFursaevの結果）と一致させることで、4次元および6次元における境界項 $ J_k(W, \hat{K}) $ の明示的表現を導出する。
• 奇数次元（d=3,5）のケースを解析し、$ \hat{K}_{ij} $ から構成されるすべての可能な共形不変量（$ \mathrm{Tr}\,\hat{K}^2 $、$ (\mathrm{Tr}\,\hat{K}^2)^2 $、曲率結合項を含む）を同定する。
• 熱核係数および共形作用素構造（例えば、パネイツ型作用素）を用いて、5次元における境界不変量の形を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を持つ状況下でタイプB共形異常の変分原理を適切に定義するためには、どのような境界項が必要か？
• RQ2 偶数次元および奇数次元における高階微分、ウェイリータンソルに基づく作用に、ギブンズ＝ホーキング型境界項をどのように一般化できるか？
• RQ3 なぜ奇数次元における統合共形異常が非ゼロであり、境界項がこの現象に果たす役割は何か？
• RQ4 $ \hat{K}_{\mu\nu} $ に関連する境界荷 $ c_n $ の不変な物理的意味は何か、特に平坦時空でも現れる場合の意味は？
• RQ5 境界荷 $ c_n $ は、境界上に存在するCFTのストレステンソル相関関数の構造と関係があるか？

主な発見

• タイプB共形異常の境界項は、形式 $ J_k(W, \hat{K}) $ のギブンズ＝ホーキング型であり、計量変動における法線方向微分項のキャンセルを保証する。
• 4次元では、Fursaevによるスカラー場、スピン場、およびベクトル場の自由場計算と一致し、本提案の妥当性を確認する。
• 6次元では、ウェイリータンソルとその微分から構成される3つの独立不変量 $ I_1, I_2, I_3 $ に対応する境界項の明示的表現が導出される。
• 3次元では、統合異常が $ c_1 \chi[\partial\mathcal{M}_3] $ および $ c_2 \int_{\partial\mathcal{M}_3} \mathrm{Tr}\,\hat{K}^2 $ を含み、ディリクレ境界条件では $ c_1 = -1, c_2 = 1 $、共形ロビン条件では $ c_1 = 1, c_2 = 1 $ となる。
• 5次元では、$ \mathrm{Tr}\,\hat{K}^2 $、$ (\mathrm{Tr}\,\hat{K}^2)^2 $、$ \mathrm{Tr}\,\hat{K}^4 $、および共形作用素 $ \mathcal{D}\hat{K} $ を含む曲率結合項が複数の共形不変量として同定され、係数 $ c_k $ は境界条件に依存する。
• $ \hat{K}_{\mu\nu} $ に関連する境界荷 $ c_n $ はトポロジカルではなく、ボリューム項に対応するものがないため、これらは新しい内在的境界共形荷であり、その物理的解釈は未解決の問題である。