[論文レビュー] Boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations in Lipschitz domains

Moshe Marcus, Лаурент Верон|ArXiv.org|Jul 6, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界リプシッツ領域における半線形楕円型方程式 $-\Delta u + g(u) = 0$ に対して、$g(u) = |u|^{q-1}u$（$q > 1$）の形の正の解の存在および一意性を確立する。調和測度とベッセル容量を用いたトレース理論を導入し、多面体境界上の特異点が、その $C_{\rho,q'}$-容量がゼロであるときにかつそのときに限り除去可能であることを証明し、$k$次元の辺上での負のインデックスをもつベソフ空間による「良い測度」の特徴づけを示す。

ABSTRACT

We study the generalized boundary value problem for nonnegative solutions of $-Δu+g(u)=0$ in a bounded Lipschitz domain $\Gw$, when $g$ is continuous and nondecreasing. Using the harmonic measure of $\Gw$, we define a trace in the class of outer regular Borel measures. We amphasize the case where $g(u)=|u|^{q-1}u$, $q>1$. When $\Gw$ is (locally) a cone with vertex $y$, we prove sharp results of removability and characterization of singular behavior. In the general case, assuming that $\Gw$ possesses a tangent cone at every boundary point and $q$ is subcritical, we prove an existence and uniqueness result for positive solutions with arbitrary boundary trace. We obtain sharp results involving Besov spaces with negative index on k-dimensional edges and apply our results to the characterization of removable sets and good measures on the boundary of a polyhedron.

研究の動機と目的

• 有界リプシッツ領域において、$g$ が連続かつ非減少数であるとき、$-\Delta u + g(u) = 0$ の正の解のトレース理論を構築すること。
• 滑らかな領域における結果をリプシッツ領域へ拡張し、特に測度データおよびべき乗非線形項 $g(u) = |u|^{q-1}u$ の場合を扱うこと。
• 多面体領域の境界上での除去可能な特異点集合と「良い」測度を、容量およびベソフ空間の条件を用いて特徴づけること。
• 下臨界 $q$ および接錐の仮定の下で、任意の正の境界トレースをもつ解の存在および一意性を確立すること。

提案手法

• 領域 $\Omega$ に関連する調和測度 $\omega$ を用いて、外正則ボレル測度のクラスにおける境界トレースを定義する。
• テスト関数を $X(\Omega) = \{\eta \in W^{1,2}_0(\Omega) : \rho^{-1}\Delta\eta \in L^\infty(\Omega)\}$ にとることで、弱 $L^1$ 形式を導入する。ここで $\rho$ は $-\Delta$ の第一固有関数である。
• 境界上の $k$ 次元の辺 $A$ におけるベソフ空間 $B^{-s,p}(d_A)$ への調和補完（harmonic lifting）を用いて、特異挙動を分析する。
• 境界ハーナックの原理およびケラー＝オッシャーマー推定を用いて、境界点付近での成長を制御し、ハーナック型不等式を導出する。
• 解が存在するような測度の空間 $M_{\rho,q}$ の双対を用いて、容量 $C_{\rho,q'}$ を定義し、それを除去可能な集合と関連付ける。
• $k$-二面体におけるマーチン核および可分な調和関数を用いて、錐領域における臨界指数および許容条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リプシッツ領域における $-\Delta u + |u|^{q-1}u = 0$ の正の解が、適切に定義された境界トレースをもつための条件は何か？
• RQ2 コンパクト集合 $K \subset \partial\Omega$ が、べき乗非線形項 $g(u) = |u|^{q-1}u$ をもつ解に対して除去可能であるための条件は何か？
• RQ3 $k$ 次元の辺上での負のインデックスをもつベソフ空間は、多面体領域における特異集合の容量とどのように関係するか？
• RQ4 任意の正の境界トレースをもつ解の存在および一意性を保証するための $q$ および領域 $\Omega$ の幾何的条件は何か？
• RQ5 錐領域における調和測度およびマーチン核は、解が特異挙動を示す臨界値 $q$ をどのように決定するか？

主な発見

• 有界リプシッツ領域 $\Omega$ において、境界点ごとに接錐をもち、$q$ が下臨界であるとき、任意の正の境界トレース（外正則ボレル測度の意味で）をもつ正の解が一意に存在する。
• コンパクト集合 $K \subset \partial\Omega$ が除去可能であるための必要十分条件は、すべての $k,j$ に対して $C_{s(k,j),q'}(K \cap L_{k,j}) = 0$ が成り立つことである。ここで $s(k,j)$ は $k$ 次元の辺 $L_{k,j}$ の幾何的性質によって定義される。
• 測度 $\mu \in \mathfrak{M}(\partial\Omega)$ が $q$-良い（$q$-good）であるための必要十分条件は、$C_{\rho,q'}$-容量がゼロである集合に質量を割り当てないことである。$C_{\rho,q'}(K) = 0$ であることと $M_{\rho,q}(K) = \{0\}$ であることは同値である。
• 頂点が $y$ である錐領域において、除去可能性および特異挙動に関する鋭い結果が得られ、臨界 $q$ の値は幾何的性質およびマーチン核によって決定される。
• リプシッツ領域において境界ハーナック不等式は一様に成り立つ：正の解が $\partial\Omega$ の相対的開部分集合上で消えるとき、$c^{-1} \frac{u_1(z')}{u_1(z)} \leq \frac{u_2(z')}{u_2(z)} \leq c \frac{u_1(z')}{u_1(z)}$ が成り立ち、定数 $c$ は $N$、$q$、およびリプシッツ特徴量にのみ依存する。
• $k$ 次元の辺 $A$ 上の $B^{-s,p}(d_A)$ への調和補完は適切に定義されており、解の特異挙動が容量および可積分性の観点から特徴づけられる。