[論文レビュー] Boundary-value problem for fractional heat equation involving Caputo-Fabrizio derivative

Nasser Al-Salti, Erkinjon Karimov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特異的でない核を持つCaputo-Fabrizio微分を用いた時間分数熱方程式の境界値問題を検討する。変数分離法を用い、問題をボルテラ積分方程式に還元することで、特定の初期および境界条件の下で4つの異なる境界値問題について一意的な可解性を確立し、明示的な解析解を導出する。収束性は級数推定により証明される。

ABSTRACT

In this work, we consider a number of boundary-value problems for time-fractional heat equation with the recently introduced Caputo-Fabrizio derivative. Using the method of separation of variables, we prove a unique solvability of the stated problems. Moreover, we have found an explicit solution to certain initial value problem for Caputo-Fabrizio fractional order differential equation by reducing the problem to a Volterra integral equation. Different forms of solution were presented depending on the values of the parameter appeared in the problem.

研究の動機と目的

• 時間分数熱方程式にCaputo-Fabrizio微分を用いた場合の解析的解の欠如に対処すること。
• 特異的でない核を持つ分数熱方程式の初期値および境界値問題の一意的可解性を確立すること。
• 問題をボルテラ積分方程式に還元することにより、明示的な解析解を導出すること。
• 解およびその微分の級数表現の収束性を検証すること。

提案手法

• 空間的および時間的変数に分離変数法を適用し、分数階偏微分方程式を常微分方程式に分解する。
• Caputo-Fabrizio分数階微分方程式の初期値問題を第二種ボルテラ積分方程式に還元する。
• 逐次的反復法を用いてボルテラ積分方程式を解き、解の閉形式表現を導出する。
• 空間的変数におけるフーリエ級数展開（余弦および正弦項を用いて）を適用し、固有関数を用いて解を表現する。
• 解およびその2階空間微分の級数表現の収束性を、$ L^2 $-ノルムおよびコーシー＝シュワルツ型不等式を用いて推定する。
• 級数展開に用いられた双直交基底系の完全性を用いて、一意性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Caputo-Fabrizio分数階微分方程式の初期値問題が、一意的な連続解を有するための条件は何か？
• RQ2 Caputo-Fabrizio時間分数熱方程式を含む境界値問題に対して、明示的な解析解をどのように導出できるか？
• RQ3 特に $ \lambda = \frac{1}{1-\alpha} $ の場合に、パラメータの値に応じて解の形がどのように異なるか？
• RQ4 解の無限級数表現およびその微分の収束性はどのように確立されるか？
• RQ5 初期および境界条件（$ g(x,0) = 0 $、$ g(0,t) = g(1,t) $ などを含む）が、解の正則性および一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• $ \lambda \neq \frac{1}{1-\alpha} $ の場合、初期値問題の解は、外力関数およびその指数核との畳み込みの重み付き和を含む閉形式で与えられる。
• $ \lambda = \frac{1}{1-\alpha} $ の場合、解は別個の形を取る：$ u(t) = -(1-\alpha)f(t) - \frac{(1-\alpha)^2}{\alpha}f'(t) $、ただし $ f(0) = f'(0) = 0 $ を満たす。
• 分数熱方程式の境界値問題の解は、時間に依存するボルテラ型積分に依存する係数を持つ空間的フーリエ級数として表現される。
• $ g(x,t) \in C(\overline{\Omega}) $、$ g(x,0) = 0 $、$ g_t(x,t) \in L_1[0,T] $、および $ g_x(x,t) \in L_2[0,1] $ の条件下で、$ u_{xx}(x,t) $ の級数表現の収束性が証明される。
• 級数展開に用いられた双直交基底系の完全性により、解の一意性が保証される。
• $ |u_{xx}(x,t)| \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{C_3}{(k\pi)^2} + \|\bar{g_{1k}}(t)\|_{L_2} + \|g_{2k}(t)\|_{L_2} + \|\bar{g_{2k}}(t)\|_{L_2} $ の推定により、解の級数の絶対的かつ一様収束性が確認される。