[論文レビュー] Boundary value problems in Lipschitz domains for equations with drifts

Georgios Sakellaris|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界リプシッツ領域における2階楕円型作用素 $L = -\operatorname{div}(A\nabla\cdot) + b\nabla$ の $D_2$ ディリクレ問題と $R_2$ レギュラリティ問題の解の存在と一意性を、調和測度と層ポテンシャル法を用いて確立する。主な結果として、$A$ がリプシッツ的で $b$ が有界であるという最小限の仮定のもと、$L^t$ に対する $D_2$ 問題と $L$ に対する $R_2$ 問題が一意に解かれることが示され、一方 $L^t$ に対する $R_2$ 問題では $A$ と $\operatorname{div}b$ がより高い正則性を要することが判明する。

ABSTRACT

In this work we establish solvability and uniqueness for the $D_2$ Dirichlet problem and the $R_2$ Regularity problem for second order elliptic operators $L=-{ m div}(A abla\cdot)+b abla\cdot$ in bounded Lipschitz domains, where $b$ is bounded, as well as their adjoint operators $L^t=-{ m div}(A^t abla\cdot)-{ m div}(b\,\cdot)$. The methods that we use are estimates on harmonic measure, and the method of layer potentials. The nature of our techniques applied to $D_2$ for $L$ and $R_2$ for $L^t$ leads us to impose a specific size condition on ${ m div}b$ in order to obtain solvability. On the other hand, we show that $R_2$ for $L$ and $D_2$ for $L^t$ are uniquely solvable, assuming only that $A$ is Lipschitz continuous (and not necessarily symmetric) and $b$ is bounded.

研究の動機と目的

• 有界リプシッツ領域における2階楕円型作用素 $L = -\operatorname{div}(A\nabla\cdot) + b\nabla\cdot$ の $D_2$ ディリクレ問題と $R_2$ レギュラリティ問題の一意的可解性を確立すること。
• ドリフト項 $b$ 及びその発散 $\operatorname{div}b$ が境界値問題の可解性条件に与える影響を分析すること。
• $L$ とその随伴作用素 $L^t$ の両方に対して可解性結果を拡張し、係数が対称か非対称かに応じて区別すること。
• 解の $L^p$-ノルムと係数の正則性に関する定量的評価を導出すること。
• 特に非対称作用素に対し、調和測度と層ポテンシャル技法を統合的に用いて境界値問題の取り扱いを統一すること。

提案手法

• 本稿は、調和測度の密度に関する推定と最大関数の制御を用いて、$L$ に対する $D_2$ 問題を分析する。
• 層ポテンシャル法を用いて $R_2$ 問題を研究し、単一層ポテンシャルおよび二重層ポテンシャルの可逆性と境界におけるジャンプ関係を考察する。
• 非対称な場合を対称的状況に還元するために、ドリフト $b$ を発散がゼロである部分 $\tilde{b}$ と残差に分解し、部分積分を用いる。
• 境界上での勾配の $L^2$-ノルムを制御するため、Rellich型推定を適用する。これは $R_2$ 可解性に不可欠である。
• 解の非接線的 maximal 関数を制御するために、重み付き $L^p$ 推定と maximal 関数技法を用いる。
• 解析は、領域 $\Omega$ のリプシッツ正則性、$A$ の一様楕円性、$b$ および $\operatorname{div}b$ の可積分性条件に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界リプシッツ領域において、$L = -\operatorname{div}(A\nabla\cdot) + b\nabla\cdot$ の $D_2$ ディリクレ問題が、ドリフト $b$ 及びその発散 $\operatorname{div}b$ に対してどのような条件下で一意に解かれるか。
• RQ2 $A$ がリプシッツ連続で $b$ が有界であるが、$\operatorname{div}b$ が $L^p$ に属さない場合に、$L$ に対する $R_2$ レギュラリティ問題は一意に解かれるか。
• RQ3 $A$ が非対称であるとき、$L^t$ に対する $R_2$ 問題が一意に解かれるために必要な追加の正則性は何か。
• RQ4 $b$ を発散がゼロの部分と残差に分解することは、境界値問題の可解性にどのように影響するか。
• RQ5 可解性結果が係数行列 $A$ の対称性にどれほど依存するか。

主な発見

• 有界リプシッツ領域において、$A$ が一様楕円的かつリプシッツ的で、$b \in L^\infty$ かつ $\operatorname{div}b \in L^{p_d}(\Omega)$ であるとき、$L = -\operatorname{div}(A\nabla\cdot) + b\nabla\cdot$ の $D_2$ ディリクレ問題は一意に解かれる。ここで $p_d = 2$（$d=3$ の場合）および $p_d = d/2$（$d \geq 4$ の場合）。
• $A$ と $b$ に対して同じ仮定が成り立つとき、$L$ に対する $R_2$ レギュラリティ問題も一意に解かれる。定数は $d$、$A$ の楕円性、$A$ のリプシッツノルム、$\|b\|_\infty$、$\Omega$ の直径、$\Omega$ のリプシッツ特性にのみ依存する。
• $L^t = -\operatorname{div}(A^t\nabla\cdot) - \operatorname{div}(b\cdot)$ の $D_2$ ディリクレ問題は、$A$ がリプシッツ的で $b$ が有界であると仮定するだけで一意に解かれる。
• $L^t$ に対する $R_2$ レギュラリティ問題は、$A$ が $C^{1,\alpha}$ で $b \in \operatorname{Dr}_{d,\alpha}(\mathbb{R}^d)$ かつ $\operatorname{div}b \in L^d(\mathbb{R}^d)$ のとき一意に解かれる。定数は $\|A\|_{C^{1,\alpha}}$、$\|b\|_{\operatorname{Dr}_{d,\alpha}}$、および領域の直径と特性に依存する。
• $p \in (2 - \varepsilon, \infty)$ に対して、$\operatorname{div}b \in L^{p_d}(\Omega)$ のとき、$L$ に対する $D_p$ ディリクレ問題は一意に解かれる。ここで $\varepsilon > 0$ は領域と係数に依存する。
• ドリフト $b$ の小さな摂動に対しても可解性結果は安定であり、構成された発散がゼロの補正項 $\tilde{b}$ は方程式の構造を保ち、対称的状況への還元を可能にする。