[論文レビュー] Boundary values of resolvents of self-adjoint operators in Krein spaces

Vladimir Georgescu, Christian Gérard+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、不定内積空間へのモールの正の交換子法の一般化により、クレイン空間における自己共役作用素の境界値に対する重み付き解離作用素の推定を確立する。局所的正の交換子推定、スペクトル射影の正性、および共役作用素に関しての滑らかさという条件下で、著者らは次の通りの一様な重み付き解離作用素の有界性を証明する：$\sup_{z\in I\pm i]0,\nu]}\|\langle A\rangle^{-s}(H-z)^{-1}\langle A\rangle^{-s}\|<\infty$（$s>1/2$）、これは電荷空間における抽象的クライン＝ゴルドン方程式へと拡張される。

ABSTRACT

We prove in this paper resolvent estimates for the boundary values of resolvents of selfadjoint operators on a Krein space: if $H$ is a selfadjoint operator on a Krein space $\cH$, equipped with the Krein scalar product $\langle \cdot| \cdot angle$, $A$ is the generator of a $C_{0}-$group on $\cH$ and $I\subset r$ is an interval such that: \begin{itemize} \item[]1) $H$ admits a Borel functional calculus on $I$, \item[]2) the spectral projection $\one_{I}(H)$ is positive in the Krein sense, \item[]3) the following {\em positive commutator estimate} holds: \[ \Re \langle u| [H, ıA]u angle\geq c \langle u| u angle, \ u \in { m Ran}\one_{I}(H), \ c&gt;0. \] \end{itemize} then assuming some smoothness of $H$ with respect to the group $\e^{ıt A}$, the following resolvent estimates hold: \[ \sup_{z\in I\pm ı]0, ν]}\| \langle A angle ^{-s}(H-z)^{-1}\langle A angle^{-s}\| \12. \] As an application we consider abstract Klein-Gordon equations \[ \p_{t}^{2}ϕ(t)- 2 ık ϕ(t)+ hϕ(t)=0, \] and obtain resolvent estimates for their generators in {\em charge spaces} of Cauchy data.

研究の動機と目的

• クレイン空間における自己共役作用素（内積が正定値でない）に対するモールの正の交換子法を拡張すること。
• 局所的正の交換子条件が成り立つ区間において、そのような作用素の境界値に対する一様な解離作用素推定を確立すること。
• 抽象的クライン＝ゴルドン方程式の生成作用素を、コーシー初期データの空間において応用すること。
• 適切な条件下で電荷クライン＝ゴルドン作用素が定義可能であることを証明し、関数計算の利用を可能にする。

提案手法

• 臨界点を除く区間におけるスペクトル射影を定義するために、クレイン空間上での定義可能作用素に対するボレル関数計算の使用。
• スペクトル射影 $\mathbf{1}_I(H)$ の像に属する $u$ に対して、推定 $\operatorname{Re}\langle u|[H,\mathrm{i}A]u\rangle \geq c\|u\|^2$ を用いた正の交換子法の適応。
• 解離作用素の実軸付近での成長を制御するため、$\langle A\rangle^{-s}$ を用いた重み付きノルムの導入。
• バーリアの定理および交換子展開を用いて、解離作用素の実軸上での境界値に対する推定を導出。
• モール型推定の適用を保証するため、滑らかさ条件（例：$C^\infty(A)$）および摂動の相対コンパクト性の確認。
• クライン＝ゴルドン方程式を一階系に還元し、生成作用素がクレイン空間上での自己共役作用素として特定されることにより、主要定理の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内積が正定値でないクレイン空間における自己共役作用素に対して、正の交換子法を拡張することは可能か？
• RQ2 クレイン空間における自己共役作用素の境界値が、重み付きノルムで一様に有界であるための条件は何か？
• RQ3 定義可能作用素の関数計算およびスペクトル論を用いて、不定内積空間における実軸付近での解離作用素をどのように制御できるか？
• RQ4 クレイン空間上での抽象的クライン＝ゴルドン方程式の生成作用素が、どのような条件下で定義可能になるか？
• RQ5 電場ポテンシャルを伴う電荷クライン＝ゴルドン作用素に対して、どのような解離作用素推定が得られるか？

主な発見

• 本稿は、正の交換子推定、スペクトル射影の正性、および共役作用素 $A$ に関する滑らかさという条件下で、重み付き解離作用素ノルムが $\sup_{z\in I\pm i]0,\nu]}\|\langle A\rangle^{-s}(H-z)^{-1}\langle A\rangle^{-s}\|<\infty$（すべての $s>1/2$）を満たすことを証明する。
• 電荷クライン＝ゴルドン作用素 $K_{1/4}$ は、$0\notin\sigma(\varepsilon)$ であれば、クレイン空間 $({\mathcal{K}}_{1/4},\langle\cdot|\cdot\rangle)$ 上で定義可能であり、豊富なボレル関数計算を保証する。
• ポテンシャル $v(x)$ が $\langle x\rangle^\alpha v\varepsilon^{-1}$ が有界で $\alpha>3/2$ を満たすとき、$\sup_{z\in I\pm i]0,\nu]}\|\langle x\rangle^{-s}(K-z)^{-1}\langle x\rangle^{-s}\|<\infty$ がすべての $s>1/2$ に対して成り立つ。
• $K_{1/4}$ の臨界点は固有値であり、臨界点を避ける区間 $I$ に対して、スペクトル射影 $\mathbf{1}_I(K_{1/4})$ はクレイン空間の意味で定符号である。
• 本手法は、$v(x)$ の導関数に衰減条件を課した長距離ポテンシャルを伴うクライン＝ゴルドン方程式にも適用可能であり、適用範囲が拡張される。
• 本結果は、[GGH] で先行して得られたクライン＝ゴルドン方程式の既知の解離作用素推定を回復するが、クレイン空間理論および定義可能作用素に基づく新規な枠組みを用いて得られている。