[論文レビュー] Bounded-Degree Graphs have Arbitrarily Large Geometric Thickness

János Barát, Jiřı́ Matoušek+1 more|ArXiv.org|Sep 7, 2005

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有界次数のグラフが任意に大きな幾何的厚さを持つことができることを証明し、Eppsteinの予想を反証する。確率的および極値的組合せ論的技法を用いて、幾何的厚さが少なくとも $ c\sqrt{\Delta}\,n^{1/2-4/\Delta-\epsilon} $ であるΔ-正則グラフを構成する。これは、幾何的厚さが最大次数によって有界でないことを示しており、Δ ≥ 9に対しても同様である。この結果は、有界次数のグラフにおいてスロープ数が有界でないことも示唆し、幾何的グラフ描画分野の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

The geometric thickness of a graph G is the minimum integer k such that there is a straight line drawing of G with its edge set partitioned into k plane subgraphs. Eppstein [Separating thickness from geometric thickness. In: Towards a Theory of Geometric Graphs, vol. 342 of Contemp. Math., AMS, 2004] asked whether every graph of bounded maximum degree has bounded geometric thickness. We answer this question in the negative, by proving that there exists Delta-regular graphs with arbitrarily large geometric thickness. In particular, for all Delta >= 9 and for all large n, there exists a Delta-regular graph with geometric thickness at least c Delta^{1/2} n^{1/2 - 4/Delta - epsilon}. Analogous results concerning graph drawings with few edge slopes are also presented, thus solving open problems by Dujmovic' et al. [Really straight graph drawings. In: Proc. 12th International Symp. on Graph Drawing (GD '04), vol. 3383 of Lecture Notes in Comput. Sci., Springer, 2004] and Ambrus et al. [The slope parameter of graphs. Tech. Rep. MAT-2005-07, Department of Mathematics, Technical University of Denmark, 2005].

研究の動機と目的

• 有界最大次数が幾何的厚さを有界にすることをEppsteinの未解決問題として解明すること。
• 固定されたΔ ≥ 9に対し、Δ-正則グラフがnとともに幾何的厚さが増大することを確立すること。
• 結果をスロープ数へ拡張し、有界次数のグラフが任意に大きなスロープ数を持つ可能性を示すこと。
• 幾何的厚さおよびスロープパラメータの下界を導出するための、確率的および組合せ論的技法を統合したフレームワークを提供すること。

提案手法

• 拡張性と高い幾何的厚さを保証するため、確率的技法を用いてΔ-正則グラフを構築する。
• 点集合と辺の傾きの符号パターンに着目し、幾何的厚さやスロープ数が小さいグラフの数を制限する。
• 点集合の順序型の数を用いて、数え上げ的議論により幾何的厚さの下界を導出する。
• 多項式法および交差幾何を用いて、図面における共線部分集合および辺の傾きの数を制限する。
• 二重数え上げおよび漸近的不等式を用い、幾何的厚さやスロープ数が有界であると仮定した場合の矛盾を導出する。
• Malitzのブック厚さの証明を幾何的設定に適応し、凸配置と一般の点集合の差異を考慮して調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有界最大次数のグラフが有界な幾何的厚さを持つのか？
• RQ2 固定されたΔ ≥ 9に対し、Δ-正則グラフが任意に大きな幾何的厚さに達することができるか？
• RQ3 有界次数のグラフのスロープ数は定数で有界なのか？
• RQ4 Δ-正則グラフの幾何的厚さおよびスロープパラメータの漸近的下界は何か？

主な発見

• すべてのΔ ≥ 9およびε > 0に対し、ある絶対定数cを用いて、幾何的厚さが少なくとも $ c\sqrt{\Delta}\,n^{1/2-4/\Delta-\epsilon} $ であるΔ-正則n頂点グラフが存在する。
• Δ-正則グラフの幾何的厚さは、Δ ≥ 9であってもΔの関数として有界ではない。
• Δ ≥ 5のΔ-正則グラフのスロープ数は無限大に発散し、Dujmovićらの未解決問題を解決する。
• 十分大きなnおよびΔ ≥ 9に対し、Δ-正則グラフのスロープパラメータは $ \mathsf{sl}(G) > \frac{1}{4}((1-\epsilon)\Delta - 8)n $ を満たす。
• 幾何的厚さの下界は、自明な上界 $ O(\sqrt{\Delta n}) $ に対して定数倍の範囲内にある。
• 証明技法は、Malitzのブック厚さ結果を幾何的厚さに適応したものであり、点集合の配置の差異により、より鋭い下界が得られている。