[論文レビュー] Bounded Fluctuations and Translation Symmetry Breaking in One-Dimensional Particle Systems

Michael Aizenman, Sheldon Goldstein+1 more|ArXiv.org|Jul 14, 2000

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、点電荷または格子スピンからなる1次元系において、電荷またはスピンのフラクチュエーションが一様に有界である場合、並進対称性が破れ、周期的または準周期的構造が出現することを確立する。主な結果は、全電荷の分散が有界であると、構成空間に非自明な循環因子が存在することを示しており、これによりこのような系は混合的ではなく、長距離秩序を示す必要があることを証明する。

ABSTRACT

We present general results for one-dimensional systems of point charges (signed point measures) on the line with a translation invariant distribution $μ$ for which the variance of the total charge in an interval is uniformly bounded (instead of increasing with the interval length). When the charges are restricted to multiples of a common unit, and their average charge density does not vanish, then the boundedness of the variance implies translation-symmetry breaking --- in the sense that there exists a function of the charge configuration that is nontrivially periodic under translations --- and hence that $μ$ is not ``mixing.'' Analogous results are formulated also for one dimensional lattice systems under some constraints on the values of the charges at the lattice sites and their averages. The general results apply to one-dimensional Coulomb systems, and to certain spin chains, putting on common grounds different instances of symmetry breaking encountered there.

研究の動機と目的

• 1次元系における有界な電荷フラクチュエーションと並進対称性の破れの間の一般的関係を確立すること。
• 全電荷の分散が一様に有界な系は混合的ではありえず、長距離秩序を示すことの証明。
• ジルームにおけるウィグナー格子形成やスピン鎖の基底状態といった多様な物理現象を、共通の数学的枠組みで統一すること。
• 格子系および1つの自由度を持つ方向を有する高次元チューブへの解析の拡張。
• 対称的クーロンガスが、対称性の破れを示す非対称系の極限として生じることを示し、Θ状態の存在を説明すること。

提案手法

• 有界なフラクチュエーションから周期的構造を構成するために、タイトなコycle理論と構成空間の可測関数の使用。
• 並進により全電荷に応じて変化する電場に類似した汎関数 $\mathcal{E}(\omega)$ を定義し、循環因子を導出。
• 電荷フラクチュエーションが有界であるとき、汎関数 $\mathcal{E}(T_x\omega)$ が $Q_\omega((0,x])$ を含むシフト則を満たし、これは $2\pi$ を法として周期的であることを示唆。
• 連続的な点電荷と離散的電荷値を持つ格子系の両方への適用。単位電荷 $e$ の整数倍と追加のバックグラウンド電荷 $\gamma$ の区別を行う。
• 有限体積測度の緊密性と部分列の収束を用いて、$L \to \infty$ の極限における有限測度 $\mu$ の存在を証明。
• 断面積が有限の無限チューブに対し、チューブに沿ったフラクチュエーションが有界ならば、軸方向に並進対称性が破れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元系において全電荷の分散が有界であると、必ず並進対称性が破れるのであろうか？
• RQ2 1次元ジルームやスピン鎖のような系で周期的構造が出現するのは、フラクチュエーションの上限からだけ導けるのであろうか？
• RQ3 バックグラウンド電荷や離散的電荷量子化が、対称性の破れの秩序構造に与える影響は何か？
• RQ4 対称的1次元クーロンガスのΘ状態と、非対称モデルの対称性破れ状態との関係は何か？
• RQ5 これらの結果は、1つの自由度を持つ方向を有する高次元系、例えばジルームチューブにどの程度一般化可能であろうか？

主な発見

• 区間における全電荷の分散が有界であると、並進により全電荷に応じて変化する可測関数 $\mathcal{E}(\omega)$ が存在し、循環因子 $\phi(\omega) = \frac{2\pi}{e}\mathcal{E}(\omega) \mod 2\pi$ を生成する。
• 離散的電荷（$e$ の整数倍）を持つ系では、循環因子は明確な周期を持つため、並進対称性の破れと測度 $\mu$ の非混合性が証明される。
• バックグラウンド電荷 $\gamma$ を持つ格子系では、対称性の破れ構造は準周期的となり、周期は $\gamma - \rho$ に依存する。
• 有限体積測度の緊密性により、部分列にわたる極限をとる必要なく、ギブス測度の無限体積極限が一意に存在する。
• 対称的1次元クーロンガスの$\Theta$状態は、小さなバックグラウンド電荷 $\epsilon$ を持つ非対称系の極限として生じ、各 $\epsilon$-依存状態は周期 $1/\epsilon$ で周期的である。
• 結果は古典的クーロン系と量子スピン鎖の両方に適用可能であり、異なる物理的モデルにおける対称性の破れの数学的起源を統一的に説明する。