[論文レビュー] Bounded gaps between primes in number fields and function fields

Abel Castillo, Chris Hall+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、素数の有界間隔に関するMaynard-Tao定理を数体および有限体上の関数体へ拡張する。数体設定へのMaynard-Tao法の適応と、関数体 $\mathbb{F}_q(t)$ における類似定理の証明により、数体の整数環内の素元の間隔が有界である無限個の例が存在し、また $\mathbb{F}_q[t]$ 内の首項の既約多項式の間隔に対しても同様の結果が得られる。これらの結果には、複素埋め込みの数にのみ依存する明示的な境界、または $q$ に依存しない境界が含まれる。主な結果として、関数体では一様に $k_0(2) = 105$ が得られ、全実数体では度数600の有界間隔が可能であり、間隔多項式の正の密度が保証される。

ABSTRACT

The Hardy--Littlewood prime $k$-tuples conjecture has long been thought to be completely unapproachable with current methods. While this sadly remains true, startling breakthroughs of Zhang, Maynard, and Tao have nevertheless made significant progress toward this problem. In this work, we extend the Maynard-Tao method to both number fields and the function field $\mathbb{F}_q(t)$.

研究の動機と目的

• 素数の有界間隔に関するMaynard-Tao定理を数体および関数体の文脈へ拡張すること。
• 特に全実数体において、数体 $K$ の整数環内の素元の間隔が無限に多く存在することを確立すること。
• 関数体 $\mathbb{F}_q(t)$ において、既約多項式が素数の役割を果たすという文脈で、Maynard-Tao定理の類似を証明すること。
• 数体内の素元の間隔の大きさおよび関数体内の既約多項式の間隔の大きさに関する定量的境界を導出すること。
• 関数体における有界間隔のための $k_0$-値が $q$ に依存しないことを示し、すべての有限体にわたる一様な境界を可能にすること。

提案手法

• 数体へのMaynard-Tao法の適応として、$\mathcal{O}_K$ 内の素イデアル $\mathfrak{p}$ における $k$-組の適性を定義し、$\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ をカバーしないように保証すること。
• $m \geq 2$ に対して、任意の $k_0 = k_0(m,K)$ が存在し、$k \geq k_0$ である適性を持つ $k$-組 $\mathcal{O}_K$ に対して、少なくとも $m$ 個の $\alpha + h_i$ が素数であるような $\alpha \in \mathcal{O}_K$ が無限に存在することを証明すること。
• $\mathbb{F}_q[t]$ における適性を、各既約多項式 $P$ に対して集合 $\{h_1,\dots,h_k\}$ が $\mathbb{F}_q[t]/P$ をカバーしないように定義し、この設定にMaynard-Tao法を適用すること。
• 関数体 $\mathbb{F}_q(t)$ における有界間隔のための $k_0(m)$ が $q$ に依存しないことを示し、Maynardの値 $k_0(2) = 105$ が有効であることを保証すること。
• 数体 $K$ における素数の分布のレベルと、$K$ が全実であることから $\theta < 1/2$ が得られることを用いて、Maynardの $M_k$-値に関する結果を適用すること。
• $k$ に関する帰納法を用いて、間隔多項式の密度を示し、度数 $n$ の既約多項式の間隔として現れる度数 $d$ の多項式の割合が、$\frac{1}{k-1} - \frac{1}{q-1}$ 以上であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数の有界間隔に関するMaynard-Tao法を数体へ一般化することは可能か？ また、$\mathcal{O}_K$ 内にこのような間隔が存在するための条件は何か？
• RQ2 数体 $K$ の整数環内での $m$ 個の素元の有界間隔を保証するための最小の $k_0$ は何か？
• RQ3 Maynard-Tao法は関数体 $\mathbb{F}_q(t)$ へ拡張可能か？ また、必要な $k_0$ を $q$ に依存せずに選べるか？
• RQ4 固定された大きな度数 $n$ の $\mathbb{F}_q[t]$ 内の首項の既約多項式間の間隔の大きさについて、どのような境界を確立できるか？
• RQ5 度数 $d$ の多項式のうち、$\mathbb{F}_q[t]$ 内の度数 $n$ の首項の既約多項式の間隔として現れる割合はどれくらいか？

主な発見

• 任意の全実数体 $K$ に対して、$\sigma(\alpha_1 - \alpha_2)| \leq 600$ が $K$ のすべての埋め込み $\sigma$ に対して成り立つような素元 $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathcal{O}_K$ が無限に存在する。これは、直径600の有理整数の適性105-組に基づく。
• $\mathbb{F}_q[t]$ 内の既約多項式間の有界間隔には、$k_0(2) = 105$ が十分であり、$q$ に依存しない。これは、Maynardの結果を関数体へ拡張するものである。
• 任意の $d$ に対して、十分大きな $n$ に対して、度数 $n$ の既約多項式の間隔として現れる度数 $d$ の多項式の割合は、$\frac{1}{k_0-1} - \frac{1}{q-1}$ 以上である。ここで $k_0 = k_0(2)$ である。
• すべての単項式 $a \cdot t^d$ は、$q \geq k_0 + 1$ かつ $(n-d, q-1) = 1$ である限り、十分大きな $n$ に対して、首項の既約多項式の間隔として現れる。
• $\mathbb{F}_q(t)$ 内の有界間隔の存在は、任意の $q$ および $k_0(2) = 105$ に対して保証され、古典的ケースと同一の $k_0$ を用いることができる。
• 適性を持つ $\mathbb{F}_q[t]$ 内の $k$-組に対して、$k \geq k_0$ ならば、少なくとも $m$ 個の $f + h_i$ が既約であるような $f \in \mathbb{F}_q[t]$ が無限に存在する。この $k_0$ は $q$ に依存しない。