[論文レビュー] Bounded generation of SL(n,A) (after D. Carter, G. Keller and E. Paige)

Dave Witte Morris|ArXiv.org|Mar 5, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、Carter、Keller、Paigeによる未発表の研究を扱い、数体の整数環（またはその局所化）上の特殊線型群における有界生成性について述べている。$ n \geq 3 $、または $ n = 2 $ で環に無限個の単数を持つ場合、基本行列が $ \mathrm{SL}(n,A) $ の有限指数部分群を有界生成することを示しており、一般に、任意の非スカラー行列の共役が有限指数正規部分群を有界生成することも示している。

ABSTRACT

We present unpublished work of D.Carter, G.Keller, and E.Paige on bounded generation in special linear groups. Let n be a positive integer, and let A = O be the ring of integers of an algebraic number field K (or, more generally, let A be a localization O_S.) If n = 2, assume that A has infinitely many units. We show there is a finite-index subgroup H of SL(n,A), such that every matrix in H is a product of a bounded number of elementary matrices. We also show that if T is in SL(n,A), and T is not a scalar matrix, then there is a finite-index, normal subgroup N of SL(n,A), such that every element of N is a product of a bounded number of conjugates of T. For n > 2, these results remain valid when SL(n,A) is replaced by any of its subgroups of finite index.

研究の動機と目的

• 数体の整数環（またはその局所化）$ A $ に対して、$ \mathrm{SL}(n,A) $ が有界生成されることを確立すること。$ n = 2 $ の場合、単数群に関する条件を含む。
• $ n \geq 3 $ の有界生成結果を $ n = 2 $ に拡張すること。この場合、$ A $ が無限個の単数を持つことが必要条件となる。
• 任意の非スカラー行列 $ \mathrm{SL}(n,A) $ 内の共役が、有限指数正規部分群を有界生成することを示すこと。
• $ n \geq 3 $ の場合、モデル理論的および代数的技法を用いて、$ \mathrm{SL}(n,A) $ の有限指数部分群に対しても有界生成性を一般化すること。
• $ \mathsf{SR}_m $ 条件の下で普遍メンニケ群が有限であることを証明し、コンパクト性の議論を用いて有界生成性の結果を導くこと。

提案手法

• 一階論理とコンパクト性定理を用い、有限商群から全群への有界生成性の性質の移行を図ること。
• $ \mathrm{SL}(n,A) $ 及びその基本部分群の構造を制御するための安定範囲条件 $ \mathsf{SR}_m $ の適用。
• メンニケ記号と普遍メンニケ群を用いて、$ \mathrm{SL}(n,A) $ 及びその商群の構造を分析すること。
• 非標準解析を用いて、特に数体環の文脈において $ \mathrm{SL}(n,A) $ の有界生成性を分析すること。
• 代数的数論の結果（類群の有限性、単数群の構造など）を活用し、$ A $ に関する条件を検証すること。
• $ \mathrm{SL}(2,A) $ における有界生成性を、コンパクト性およびイデアル論を用いて $ \mathrm{SL}(2,A;\mathfrak{q})/\mathrm{E}^{\triangleleft}(2,A;\mathfrak{q}) $ の有限性に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環 $ A $（例えば数体の整数環）がどのような条件下で、$ \mathrm{SL}(n,A) $ が基本行列によって有界生成されるか。
• RQ2 $ \mathrm{SL}(n,A) $ において、1つの非スカラー行列の共役による有界生成性は確立可能か。その条件は何か。
• RQ3 安定範囲条件 $ \mathsf{SR}_m $ は、$ \mathrm{SL}(n,A) $ 及びその部分群の有界生成性にどのように影響するか。
• RQ4 $ \mathrm{SL}(n,A) $ における有界生成性の結果は、有限指数部分群にどの程度まで拡張可能か。特に $ n \geq 3 $ の場合。
• RQ5 メンニケ記号群の有限性は、$ \mathrm{SL}(n,A) $ における有界生成性の証明にどのような役割を果たすか。

主な発見

• $ n \geq 3 $、または $ n = 2 $ で $ A $ が無限個の単数を持つ場合、基本行列は $ \mathrm{SL}(n,A) $ の有限指数部分群を有界生成する。この有界性の定数は $ n $ と $ \mathbb{Q} $ 上の数体の次数 $ k $ のみに依存する。
• $ \mathrm{E}(n,A) $ と $ \mathrm{SL}(n,A) $ の間の指数は、$ \mathrm{E}(n,A) $ の元の語長さを有界づける定数 $ r(n,k) $ と同じである。
• $ T \in \mathrm{SL}(n,A) $ がスカラー行列でない場合、$ T $ の共役は $ \mathrm{SL}(n,A) $ の有限指数正規部分群を有界生成する。
• $ n \geq 3 $ の場合、非スカラー行列の共役による有界生成性は、$ \mathrm{SL}(n,A) $ の任意の有限指数部分群に対しても成立する。これは $ \mathsf{SR}_2 $ 条件の安定性による。
• ある非ゼロイデアル $ \mathfrak{q} $ に対して $ \mathrm{E}^{\triangleleft}(n,A;\mathfrak{q}) $ の有界生成性は、コンパクト性を用い、$ \mathrm{SL}(n,A;\mathfrak{q})/\mathrm{E}(n,A;\mathfrak{q}) $ の有限性から示される。
• $ \mathsf{SR}_m $ 条件の下で、普遍メンニケ群 $ \mathrm{M}(n,A) $ は有限である。これにより、モデル理論的コンパクト性を用いて、商群から全群への有界生成性の移行が可能になる。