[論文レビュー] Bounded geometry and leaves

Jesús A. Álvarez López, Ramón Barral Lijó|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有界幾何構造を備えた任意の完全で連結なリーマン多様体が、コンパクトなリーマン葉層構造空間における自明なホロノミーをもつリーマン葉に等長埋め込み可能であることを確立している。著者らは、可分なヒルバート空間への点付き埋め込みの $C^\infty$-収束列を用いて、普遍空間 $\overline{\mathcal{M}}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ を構成し、そのポリッシュ位相および閉包のコンパクト性を証明した。さらに、標準的写像 $\hat{\imath}_{M,f}$ の像が、コンパクトな葉層構造部分空間における自明なホロノミーをもつ葉であることを示し、有界幾何構造多様体がこのような葉として実現可能であるという主定理を証明した。

ABSTRACT

The main theorem states that any complete connected Riemannian manifold of bounded geometry can be isometrically realized as a leaf with trivial holonomy in a compact Riemannian foliated space.

研究の動機と目的

• 任意の完全で連結な有界幾何構造を備えたリーマン多様体が、コンパクトなリーマン葉層構造空間における自明なホロノミーをもつ葉として実現可能であることを証明すること。
• 可分なヒルバート空間への $C^\infty$-収束列を用いて、普遍パラメータ空間 $\overline{\mathcal{M}}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ を構成すること。
• 標準的写像 $\hat{\imath}_{M,f}$ の像の閉包がコンパクトであり、リーマン葉層構造部分空間をなすことを確立すること。
• 適切な埋め込み $f$ の選択により、葉 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ のホロノミーが自明であることを示すこと。
• 幾何解析における未解決問題を、有界幾何構造多様体の実現定理に関する長年の予想を完全かつ厳密に証明することで解決すること。

提案手法

• 点付き完全で連結な $n$-次元リーマン多様体に $C^\infty$-写像を定めたものからなる同型類の集合として、$b\mathcal{M}^*_*(n)$ を定義し、点付き等長同型と引き戻し同値関係を modulo とする。
• 局所埋め込みにおけるコンパクト領域上での計量と写像の引き戻しの収束を用いて、$b\mathcal{M}^*_*(n)$ に $C^m$-位相を導入する。
• $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 上の $C^\infty$-収束位相がポリッシュであることを証明し、完備性と分離性を保証する。
• 各点を $C^\infty$-同値類へ写像する canonical map $\hat{\imath}_{M,f}: M \to b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ を構成する。
• $M$ が有界幾何構造を備えるとき、$\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ が $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 内でコンパクトであることを示す。
• 葉のホロノミー群が自明であるように保証することで、$\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ がコンパクトな葉層構造部分空間 $\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ 内の葉であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の完全で連結な有界幾何構造を備えたリーマン多様体は、コンパクトなリーマン葉層構造空間における自明なホロノミーをもつ葉として実現可能だろうか？
• RQ2 $\widehat{\imath}_{M,f}$ の像の閉包は、普遍空間 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 上の $C^\infty$-位相においてコンパクトだろうか？
• RQ3 埋め込み $f$ を適切に選べば、葉 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ のホロノミー群を自明にできるだろうか？
• RQ4 有界幾何構造を備えたグラフのカイリー図の有限値の装飾が存在し、すべての像が閉包内で自明な自己同型群を持つだろうか？
• RQ5 普遍空間 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ に $C^\infty$-葉層構造を導入でき、$\widehat{\imath}_{M,f}$ の像が葉となるだろうか？

主な発見

• $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 上の $C^\infty$-収束位相はポリッシュである。これはリーマン多様体の収束理論において非自明な結果であり、完備性と分離性を保証する。
• $\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ が $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 内でコンパクトであることは、多様体 $M$ が有界幾何構造を備えるときかつそのときに限り成り立つ。
• $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ は $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ のコンパクトなリーマン葉層構造部分空間への等長埋め込みであり、誘導された葉層構造をもつ。
• 埋め込み $f$ を、$\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ 内のすべての $[N,h,y]$ に対して $\text{Iso}(N,h) = \{\text{id}\}$ となるように選べば、葉 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ のホロノミーは自明である。
• 主定理が証明された：任意の完全で連結な有界幾何構造を備えたリーマン多様体は、コンパクトなリーマン葉層構造空間における自明なホロノミーをもつ葉として等長的に実現可能である。
• 構成は普遍的であり、$M$ を $C^\infty$-埋め込み $f$ を用いてヒルバート空間に埋め込み、一様に有界な微分と非自明な体積形式を保証することで、像が普遍空間内に適切に定義された葉として得られる。