[論文レビュー] Bounded homeomorphisms of the open annulus

David Richeson, Jim Wiseman|ArXiv.org|Sep 23, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクト性が成り立たない開アニュラスの有界なホメオモルフィズムに、ポincare-Birkhoff定理を一般化する。ねじれ条件と連結な非定常集合が満たされれば、固定点が存在することを証明する。非コンパクト空間上の有界写像に対する固定点定理を確立し、有理数の回転数を用いて周期点の存在を示し、普遍被覆上のリフトダイナミクスと回転数を用いて、コンパクトな設定から非コンパクトな設定へと結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove a generalization of the Poincaré-Birkhoff theorem for the open annulus showing that if a homeomorphism satisfies a certain twist condition and the nonwandering set is connected, then there is a fixed point. Our main focus is the study of bounded homeomorphisms of the open annulus. We prove a fixed point theorem for bounded homeomorphisms and study the special case of those homeomorphisms possessing at most one fixed point. Lastly we use the existence of rational rotation numbers to prove the existence of periodic orbits.

研究の動機と目的

• コンパクト性が成り立たない開アニュラスの有界なホメオモルフィズムへのPoincaré-Birkhoff定理の拡張。
• 特に測度保存が不可能であるにもかかわらず、非コンパクト空間上の有界写像に対する固定点定理の確立、特に開アニュラスに対して。
• 固定点が高々1つであるような有界ホメオモルフィズムのダイナミクスを分析し、その振る舞いを特徴づける。
• 有理数の回転数を用いて周期軌道の存在を証明し、Franksの結果を有界な開アニュラス写像へと拡張する。
• 閉アニュラスと開アニュラスの結果を統一するため、閉アニュラス写像をコンパクトなグローバルアトラクターを用いて有界な開アニュラス写像へと拡張する。

提案手法

• 普遍被覆 $\tilde{A} = \mathbb{R} \times I$ 上のリフトダイナミクスを用い、回転数を $\rho(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}(\tilde{f}^n(y) - y)_1 \mod 1$ の極限で定義する。
• すべての $x$ に対して $\omega(x) \subset W$ を満たす前向き不変なコンパクトなウィンドウ $W$ の存在によって、有界ホメオモルフィズムを定義する。
• 背理法を用いて固定点の存在を証明する：固定点が存在しないと仮定すると、$\tilde{f}^n(y)_1 \to \pm\infty$ が $\tilde{\Lambda} = \pi^{-1}(\omega(\pi(x)))$ 上で一様に成り立ち、ねじれ条件に矛盾する。
• ねじれ条件と連結な非定常集合を用いて、回転数の極限における $+\infty$ および $-\infty$ の発散を両方排除する。
• 写像 $T(x,y) = (x+1,y)$ の平行移動リフトを用い、周期点の存在を $\tilde{g} = T^{-p} \circ \tilde{f}^q$ 上の固定点問題に還元する。
• 小さな近傍を追加することで、閉アニュラスからの有界ホメオモルフィズムを、周期点を新たに生じさせず、ダイナミクスを保存する形で開アニュラスへと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開アニュラスの有界ホメオモルフィズムが固定点を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 測度保存が失敗する非コンパクトな設定において、Poincaré-Birkhoff定理を一般化できるか？
• RQ3 固定点が高々1つの有界ホメオモルフィズムのダイナミクス的性質は何か？
• RQ4 有界なアニュラスホメオモルフィズムにおいて、有理数の回転数を持つ点が、その同じ回転数を持つ周期点の存在を保証するか？
• RQ5 非コンパクトなアニュラスダイナミクスにおいて、有界性と前向き不変性の下で、回転数はどのように振る舞うか？

主な発見

• 開アニュラスの有界ホメオモルフィズムがねじれ条件を満たし、非定常集合が連結であれば、少なくとも1つの固定点が存在する。
• 非コンパクト空間上の有界ホメオモルフィズムは、コンパクトなグローバルアトラクターを有するため、Lebesgue測度を保存できない。
• 任意の有界で向きを保つホメオモルフィズム（開または閉アニュラス）で、恒等写像にホモトープであるものについて、正規化された変位のliminfとlimsupに有理数 $p/q$ が含まれるならば、回転数 $p/q$ の周期点が存在する。
• 点に有理数の回転数が存在することは、その同じ回転数を持つ周期点の存在を示唆する。これは開アニュラスにおいても成り立つ。
• 閉アニュラスの結果は、写像をコンパクトなグローバルアトラクターを用いて開アニュラス近傍へと拡張することで再現され、周期点が保存される。
• $\tilde{f}$ に固定点が存在しないならば、$\tilde{f}^n(y)_1$ は $\omega$-極限集合上で一様に $\pm\infty$ に発散するが、非定常集合が連結であれば、ねじれ条件に矛盾する。