[論文レビュー] Bounded Termination of Monotonicity-Constraint Transition Systems

Amir M. Ben-Amram, Michael Vainer|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Logic, programming, and type systems参考文献 65被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単調制約遷移系（MC-TS）における決定可能で有界な終了問題を導入し、境界が存在する場合、それが多項式である必要があることを証明している。著者らは、問題がPSPACE完全であることを示し、抽象プログラムの境界を用いて、具体的なプログラムの複雑さクラス（例えばPTIME、PSPACE、EXPTIME）を推論する方法を提示している。

ABSTRACT

Intuitively, if we can prove that a program terminates, we expect some conclusion regarding its complexity. But the passage from termination proofs to complexity bounds is not always clear. In this work we consider Monotonicity Constraint Transition Systems, a program abstraction where termination is decidable (based on the size-change termination principle). We show that these programs also have a decidable complexity property: one can determine whether the length of all transition sequences can be bounded in terms of the initial state. This is the Bounded Termination problem. Interestingly, if a bound exists, it must be polynomial. We prove that the bounded termination problem is PSPACE-complete. We also discuss, theoretically, the use of bounds on the abstract program to infer conclusions on a concrete program that has been abstracted. The conclusion maybe a polynomial time bound, or in other cases polynomial space or exponential time. We argue that the monotonicity-constraint abstraction promises to be useful for practical complexity analysis of programs.

研究の動機と目的

• 単調制約遷移系（MC-TS）における終了解析を、有界な終了の解析へと拡張し、複雑さ解析を行うこと。
• MC-TSにおけるすべての遷移列の長さが、初期状態の関数として有界であるかどうかを特定すること。
• 抽象プログラムの境界と、具体的なプログラムの複雑さクラス（例：PTIME、PSPACE、EXPTIME）との間の理論的関係を調査すること。
• MC-TSフレームワーク内での有界終了問題の計算複雑さを確立すること。

提案手法

• 有限制御フローと整数変数上の単調制約を持つ無限状態遷移系として、単調制約遷移系（MC-TS）を形式化すること。
• 有界終了を、初期状態にパラメータ化されたすべての遷移列に一様な境界が存在することとして定義すること。
• 単調制約の構造的・代数的性質を用いて、境界が存在する場合、初期値に関して多項式的でなければならないことを証明すること。
• 有界終了問題を整数制約上の意思決定問題に還元し、既知のPSPACE完全問題からの還元を用いて、それがPSPACE完全であることを証明すること。
• 抽象プログラムの境界を用いて、リソース消費（時間、空間など）の意味論に基づき、元の具体的なプログラムの複雑さクラスを推論すること。
• 既存のランク関数および制約系に関する結果を活用し、統一的な枠組みの中で終了性と複雑さを分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調制約遷移系における有界終了問題は決定可能か？
• RQ2 遷移系が遷移列の均一な境界を持つかどうかを決定する計算複雑さは何か？
• RQ3 抽象プログラム（MC-TS）の境界を用いて、元のプログラムの具体的な複雑さクラス（例：PTIME、PSPACE、EXPTIME）を推論できるか？
• RQ4 境界が存在する場合、それは初期状態値に関して必然的に多項式的か？
• RQ5 MC-TSの抽象化は、特に決定可能性と表現力の観点から、他のコスト解析手法と比較してどう異なるか？

主な発見

• MC-TSにおける有界終了問題は決定可能であり、PSPACE完全である。
• 境界が存在する場合、初期状態値に関して多項式的でなければならない。これは、指数的以上のはるかに大きな境界が存在しえないことを意味する。
• この抽象化により、複雑さクラスの推論が可能である。抽象プログラムにおける多項式的境界は、具体的なプログラムではPTIME、PSPACE、またはEXPTIMEに対応しうる。
• 本研究は、MC-TSの有用性を終了解析を超えて複雑さ解析へと拡張し、理論的に整合性のある基盤を提供している。
• 本研究は、抽象プログラムの境界と具体的なプログラムのリソース使用量との間の理論的橋渡しを確立し、モジュラーな静的解析を支援している。
• 明示的な正確な境界の計算は、未解決の問題であるが、多項式空間で実行可能である可能性がある。