[論文レビュー] Bounded Weyl pseudodifferential operators in Fock space

Laurent Amour, Lisette Jager+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Fock空間におけるWeyl擬微分作用素の無限次元版として、Calderón-Vaillancourt定理の類似を確立する。有限次元Weyl量子化と無限次元反Wick量子化を組み合わせたハイブリッド計算を用い、導関数が制御された記号に対して一様な $ L^2 $-作用素ノルムの上限を示し、有限次元近似が適切に収束することを保証する。

ABSTRACT

We aim at constructing an analog of the Weyl calculus in an infinite dimensional setting, in which the usual configuration and phase spaces are ultimately replaced by infinite dimensional measure spaces, the so-called abstract Wiener spaces. The Hilbert space on which the operators act can be seen as a Fock space or, equivalently, as a space of square integrable functions on the configuration space. The construction is not straightforward and needs to split the configuration space into two factors, of which the first one is finite dimensional. Then one defines, for a convenient symbol $F$, a hybrid calculus, acting on the finite dimensional factor as a Weyl operator and on the other one as an anti-Wick operator, defined thanks to an infinite dimensional Segal-Bargmann transformation. One can establish bounds on the hybrid operators. These bounds enable us to prove the convergence of any sequence of hybrid operators associated with an increasing sequence of finite dimensional factors. Their common limit is the Weyl operator $OP_h^{weyl}(F)$, the analog of Calderón-Vaillancourt Theorem being a consequence of the upper mentionned bounds as well.

研究の動機と目的

• 有限次元位相空間を抽象的ウィener空間に置き換えることにより、無限次元設定におけるWeyl計算の厳密な類似を構築すること。
• 有限次元Weyl作用素と無限次元反Wick作用素を組み合わせたハイブリッド量子化スキームを用いて、Fock空間上に有界なWeyl擬微分作用素を定義すること。
• 記号の導関数に関する条件の下で、このような作用素に対する一様な $ L^2 $-作用素ノルムの上限を確立し、有限次元近似の収束を可能にすること。
• 記号が適切な減衰性および滑らかさ条件を満たす場合、これらの近似の極限が標準的なWeyl量子化と一致することを証明すること。

提案手法

• 配置空間を有限次元部分 $ \Lambda_n $ とその無限次元補集合 $ \Lambda_n^c $ に分割し、それぞれに対してWeyl量子化と反Wick量子化を別々に適用する。
• ハイブリッド作用素 $ \mathrm{Op}_h^{\mathrm{hyb},\Lambda_n}(F) $ を、$ \Lambda_n $ におけるWeyl量子化と $ \Lambda_n^c $ における反Wick量子化の合成として定義する。この際、Segal-Bargmann変換を用いる。
• 導関数が $ I_2 $ 條件を満たす場合、$ \varepsilon_j $ を用いた推定を用いてハイブリッド作用素のノルムを評価する。$ h \leq 1 $ の下で、$ \|\mathrm{Op}_h^{\mathrm{hyb},\Lambda_n}(F)\| \leq M \prod_{j=1}^n (1 + 225\pi K_2 \sqrt{h} \varepsilon_j) $ が成り立つ。
• より良い評価を得るため、$ I_4 $ 條件まで高階導関数を用いる。この場合、$ \|\mathrm{Op}_h^{\mathrm{hyb},\Lambda_n}(F)\| \leq M \prod_{j=1}^n (1 + 225\pi K_4 h \varepsilon_j^2) $ が得られ、$ K_4 = \sup_j \max(1, \varepsilon_j^6) $ である。
• 増大する列 $ \Lambda_n \nearrow \Gamma $ 沿いでのハイブリッド作用素の収束を、差 $ \|\mathrm{Op}_h^{\mathrm{hyb},\Lambda_n}(F) - \mathrm{Op}_h^{\mathrm{old\text{-}weyl}}(F)\| \to 0 $ のLebesgue優越収束定理を用いて証明する。
• 最終的なWeyl作用素 $ \mathrm{Op}_h^{\mathrm{weyl}}(F) $ はハイブリッド作用素の極限として定義され、記号 $ F $ が $ H_2(M,\varepsilon) $ 条件と $ (\varepsilon_j)_{j \in \Gamma} \in \ell^1 $ を満たす場合、標準的Weyl量子化と一致することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元位相空間に代えて抽象的ウィナー空間を用いる無限次元Fock空間設定において、一貫性のあるWeyl擬微分作用素計算を定義できるか？
• RQ2 配置空間が無限次元である場合、このような作用素の有界性をどのように保証できるか？
• RQ3 記号 $ F $ にどのような条件を課すと、無限次元極限における一様な作用素ノルムの上限が得られるか？
• RQ4 増大する有限次元近似の列におけるハイブリッド量子化スキームは、極限で標準的Weyl量子化に収束するか？
• RQ5 新しいWeyl作用素が、標準的な積分公式で定義される古典的ものと一致する条件は何か？

主な発見

• 本稿は、ハイブリッドWeyl-反Wick作用素に対する一様な $ L^2 $-作用素ノルムの上限を確立する：$ \|\mathrm{Op}_h^{\mathrm{hyb},\Lambda_n}(F)\| \leq M \prod_{j=1}^n (1 + 225\pi K_2 \sqrt{h} \varepsilon_j) $、ここで $ K_2 = \sup_j \max(1, \varepsilon_j^3) $ であり、記号 $ F $ が $ I_2 $-導関数条件を満たす場合に成り立つ。
• 高階導関数条件 $ I_4 $ を用いることで、より良い評価が得られる：$ \|\mathrm{Op}_h^{\mathrm{hyb},\Lambda_n}(F)\| \leq M \prod_{j=1}^n (1 + 225\pi K_4 h \varepsilon_j^2) $、$ K_4 = \sup_j \max(1, \varepsilon_j^6) $ である。
• $ \Lambda_n \nearrow \Gamma $ の下でのハイブリッド作用素 $ \mathrm{Op}_h^{\mathrm{hyb},\Lambda_n}(F) $ の極限が存在し、Fock空間 $ \mathcal{H}(\Gamma) $ 上に有界作用素 $ \mathrm{Op}_h^{\mathrm{weyl}}(F) $ を定義する。
• 構築された作用素 $ \mathrm{Op}_h^{\mathrm{weyl}}(F) $ は、記号 $ F $ が $ H_2(M,\varepsilon) $ 条件と $ (\varepsilon_j)_{j \in \Gamma} \in \ell^1 $ を満たす場合、標準的Weyl量子化 $ \mathrm{Op}_h^{\mathrm{old\text{-}weyl}}(F) $ と一致する。
• 差の積分表現におけるLebesgue優越収束定理を用いて、$ \|\mathrm{Op}_h^{\mathrm{hyb},\Lambda_n}(F) - \mathrm{Op}_h^{\mathrm{old\text{-}weyl}}(F)\| \to 0 $ が $ n \to \infty $ の下で成り立つことが証明された。
• 本結果は、古典的有界性結果を抽象的ウィナー空間上のFock空間へ拡張した、厳密な無限次元版Calderón-Vaillancourt定理を提供する。