[論文レビュー] Boundedness and stabilization in a three-dimensional two-species chemotaxis-Navier--Stokes system with competitive kinetics

Misaki Hirata, Shunsuke Kurima+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

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ひとこと要約

本稿は、ロトカ＝ヴォリエラ競争力学を伴う3次元2種類の化学接着-ナビエ＝ストークス系に対して、弱解の大域的存在を確立し、それらが最終的に滑らかになり、平衡状態に収束することを証明する。正則化近似と放物型正則化を用いて、3次元における古典解の欠如を克服し、$ t \to \infty $ の際に $ C^1(\overline{\Omega}) $ で滑らかになり、収束する解への収束を示した。主な結果は、競争係数に応じて共存または排除の平衡状態への安定化である。

ABSTRACT

This paper is concerned with the 3-dimensional two-species chemotaxis-Navier--Stokes system with Lotka--Volterra competitive kinetics under homogeneous Neumann boundary conditions and initial conditions. Recently, in the 2-dimensional setting, global existence and stabilization of classical solutions to the above system were first established. However, the 3-dimensional case has not been studied: Because of difficulties in the Navier--Stokes system, we can not expect existence of classical solutions to the above system. The purpose of this paper is to obtain global existence of weak solutions to the above system, and their eventual smoothness and stabilization.

研究の動機と目的

• 3次元2種類の化学接着-ナビエ＝ストークス系に競争的ロトカ＝ヴォリエラ力学を組み込んだ場合における、古典解の大域的存在結果の欠如に対処すること。
• 3次元において古典解の存在を妨げるナビエ＝ストークス項と化学接着項の根本的困難を克服すること。
• 弱解の大域的存在およびそれらの最終的滑らかさと平衡状態への安定化を確立すること。
• 異なる競争係数パラメータ領域における解の長期的挙動を分析すること。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式に放物型正則化を適用し、化学接着および反応項に時間正則化を施すこと。
• ガラーキン近似法を用いて、正則化された設定下での近似解を構成すること。
• エネルギー推定と補間を用いて、$ n_1 $, $ n_2 $, および $ c $ に対する $ L^p $-空間における一様有界性、および $ u $ に対する $ W^{1,2} $-空間における一様有界性を確立すること。
• ストークス系における最大 $ L^p $-正則性理論とシューディン型推定を用いて、近似解の高階正則性を導出すること。
• コンパクトネスの議論と部分列収束を用いて、正則化近似から極限解を抽出すること。
• 事前推定と収束議論を用いて、極限解が $ t \to \infty $ の際に $ C^1(\overline{\Omega}) $ で滑らかになり、収束することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元2種類の化学接着-ナビエ＝ストークス系に競争的力学を含む場合、古典解が存在しないにもかかわらず、大域的弱解を構成できるか？
• RQ2 構成された弱解の長期的挙動は、滑らかさと収束性の観点でどのようになるか？
• RQ3 系は平衡状態に安定化するか？ もしそうならば、競争係数 $ a_1 $ と $ a_2 $ のどのような条件下でそうなるか？
• RQ4 化学接着項と流体力学項は、3次元における解の有界性と正則性にどのように作用するか？
• RQ5 正則化近似法により、最終的に滑らかになり、定常状態に収束する解が得られるか？

主な発見

• 3次元2種類の化学接着-ナビエ＝ストークス系に競争的力学を含む場合、弱解の大域的存在が確立された。
• 構成された弱解は最終的に滑らかになる。すなわち、ある $ T_0 > 0 $ および $ \alpha' \in (0,1) $ に対して、$ C^{2+\alpha',1+\alpha'/2}(\overline{\Omega} \times [T_0, \infty)) $ に属する。
• $ t \to \infty $ の際に $ C^1(\overline{\Omega}) $ で安定化する：$ a_1, a_2 \in (0,1) $ のとき、$ n_1(\cdot,t) \to N_1 $, $ n_2(\cdot,t) \to N_2 $, $ c(\cdot,t) \to 0 $, $ u(\cdot,t) \to 0 $ となる。
• $ a_1 \geq 1 > a_2 > 0 $ の場合、解は $ n_1(\cdot,t) \to 0 $, $ n_2(\cdot,t) \to 1 $, $ c(\cdot,t) \to 0 $, $ u(\cdot,t) \to 0 $ に $ C^1(\overline{\Omega}) $ で収束する。
• $ t > T $ に対して、$ n_1 $, $ n_2 $, $ c $ の $ L^p $-ノルムおよび $ u $ の $ W^{1,2} $-ノルムについて、正則化パrameter $ \varepsilon $ に依存しない一様有界性が得られた。
• $ t > T_0 $ のコンパクト時間区間 $[t, t+1]$ において、正則化された解が $ C^{1+\alpha', \alpha'/2} $-ノルムで極限解に収束することが示され、最終的な滑らかさが保証された。