[論文レビュー] Boundedness in families with applications to arithmetic hyperbolicity

Raymond van Bommel, Ariyan Javanpeykar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Meromorphic and Entire Functions被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非自明な不正則性をもつ射影的正則表面に対して、体の拡大のもとでの算術的双曲性の不変性を、半アーベル多様体の有界性および新しい概念である擬代数的双曲性を用いて確立する。また、代数的双曲性、有界性、群論的無関係性といった双曲性条件が一般化およびザリスキ可算的開性を保つことを示し、Demailly、Green–Griffiths、Lang、Vojtaの予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Motivated by conjectures of Demailly, Green-Griffiths, Lang, and Vojta, we show that several notions related to hyperbolicity behave similarly in families. We apply our results to show the persistence of arithmetic hyperbolicity along field extensions for projective normal surfaces with nonzero irregularity. These results rely on the mild boundedness of semi-abelian varieties. We also introduce and study the notion of pseudo-algebraic hyperbolicity which extends Demailly's notion of algebraic hyperbolicity for projective schemes.

研究の動機と目的

• 射影的代数多様体の族における双曲性の概念—代数的双曲性、有界性、群論的無関係性、一般型—の挙動を調査すること。
• 双曲性条件がザリスキ可算的開かつ一般化に関して安定であることを示し、Demailly–Green–Griffiths–Lang–Vojta予想に対する証拠を提供すること。
• 非自明な不正則性をもつ射影的正則表面に対して、体の拡大に沿った算術的双曲性の不変性を確立すること。
• ザリスキ閉例外集合を許容するようにDemaillyの概念を拡張する新しい概念、擬代数的双曲性を導入し、その性質を研究すること。
• 特に、非可算体および有限型のHomスケームの文脈において、閉部分スキームに関する有界性が基底変換および帰納法に対してうまく働くことを示すこと。

提案手法

• 半アーベル多様体のやや弱い有界性を、射影的多様体への写像族を制御する基礎的道具として用いる。
• Silvermanの特殊化定理を適用し、閉ファイバーでの有界性から幾何的一般ファイバーでの有界性を導出する。
• 曲線から多様体への写像の有限性を示すために、曲げて折る技法とヒルベルト多項式の制御を用いる。
• すべての部分多様体が一般型である点の集合が一般化に関して安定であることを示し、双曲的領域のザリスキ可算的開性を確立する。
• 有界性を一般化し、点付き写像族を制御するために、閉部分スキーム $\Delta$ に関する $(n,1)$-有界性の概念を導入する。
• 次元に関する帰納法とHomスケームの有限性を用い、$X$ が $\Delta$ を基準として $(1,1)$-有界性をもつならば、すべての $n$ に対して $\Delta$ を基準として $(n,1)$-有界性をもつことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 族内の射影的多様体のうち、代数的双曲性または有界性をもつものの集合は、ザリスキ位相において開集合か？
• RQ2 非自明な不正則性をもつ射影的正則表面に対して、算術的双曲性は体の拡大のもとで不変か？
• RQ3 代数的双曲性の概念を、ザリスキ閉例外集合をもつ多様体に拡張できるか。また、その場合、どのような有限性性質が導かれるか？
• RQ4 有界性、$(n,m)$-有界性、群論的無関係性といった概念は、標数0の体上の射影的多様体の族において一般化に関して安定か？
• RQ5 $X$ が閉部分スキーム $\Delta$ を基準として $(1,1)$-有界性をもつならば、すべての $n$ に対して $\Delta$ を基準として $(n,1)$-有界性をもつのか？

主な発見

• すべての整閉部分多様体が一般型である射影的多様体の集合は、一般化に関して安定しており、Demailly–Green–Griffiths–Lang–Vojta予想への重要な一歩を確認する。
• 非自明な不正則性をもつ射影的正則表面に対して、体の拡大に沿った算術的双曲性が不変であることが、半アーベル多様体の有界性および基底変換技術を用いて示された。
• 非可算体 $L$ 上で、$X$ が体 $k$ 上で $\Delta$ を基準として $(1,1)$-有界性をもつならば、$X_L$ は $\Delta_L$ を基準として有界である。これは、有限性およびヒルベルト多項式の制御による。
• もし $X$ が $\Delta$ を基準として $(1,1)$-有界性をもつならば、すべての $n \geq 1$ に対して $X$ は $\Delta$ を基準として $(n,1)$-有界性をもつ。これは、曲げて折る技法を用いた帰納法と背理法によって確立された。
• 任意の射影的整多様体 $Y$ から射影的擬代数的双曲的スキーム $X$ への全射的準同型の集合は有限である。これは、擬設定における有限性性質を確認する。
• 擬代数的双曲性の概念により、すべての有理曲線が例外集合 $\Delta$ に含まれることが保証され、非可算体 $L$ 上で $X_L$ が $\Delta_L$ を基準として有界であることが保証される。